Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
II |
описывается |
следующим |
уравнением |
(с учетом |
Я*, заменяя т) |
па |
11* |
и у на у*): |
|
|
|
|
|
|
|
Г (У + V) ( * jV- 1Л ___ £_уі_1 |
|
|||
|
1 |
Г (3,640) |
(^ - У '07І- Ѵ і - |
2,569—1 |
|
|
|
|
|
J L \ |
|
||
|
15,5 ' Г (1 ,071) Г (2,569) \15,5/ |
\ |
15,5/ |
|
||
|
|
= 0,18 ' |
X N0,071 |
X у . 569 |
|
|
|
|
|
15,5/ |
(111.50) |
||
|
|
|
|
|
|
|
где Г — гамма-функция. |
|
|
|
|
||
|
Проверка |
по х2= П ,6 9 |
при (= 1 1 —4— 1 = 6 |
(параметры г)*, |
у*, |
|
Хо = 0 и Л*=15,5) показывает, что Р{х2}> 5% и гипотеза адекват ности не отклоняется. По физическому смыслу ß-распределение можно признать удовлетворительным, так как одно из его интер претаций [75]: распределение доли совокупности (содержание гли ны в %), заключенное между наименьшим и наибольшим значения ми выборки.
Проверка |
иных распределений |
по рис. |
III.3 |
дала |
|||
в примере III.17 следующие значения %2-критерия: лога |
|||||||
рифмически |
нормальное |
[79] — %2 = 121,8 |
и |
Р{%2} < |
|||
<0,05%; |
|
распределение |
Грама-Шарлье |
|
79] |
||
%Ф= 32,5 и |
Р{х2} <0,05% ; |
гамма-распределение |
|
7 5 ] - |
|||
5Сф= 18,8 и Р{х2} <2,5% ; распределение Вейбулла |
79] — |
||||||
Х| = 17,9 и |
Р{%2}<2,5% . Таким образом, несмотря на |
||||||
несколько |
лучшее приближение по |
сравнению |
с |
нор |
|||
мальным |
|
распределением |
|
|
|
|
|
(пример |
II 1.17), пи одно |
из |
|
|
|
|
|
этих распределений не может конкурировать в данной зада че с ß-распределением (пример
III.18).
Вряде случаев технолог вынужден прибегать к описа нию ряда распределения эм пирическими законами, из ко торых популярностью пользу
ются |
кривые |
Пирсона |
[41]. |
|
|
|
||
Область возможных |
значений |
|
|
|
||||
ßi и |
ß2, описываемых такими |
|
|
|
||||
кривыми, несколько больше, |
0 |
.... |
п |
|||||
чем |
в семействе |
кривых на |
||||||
рис. |
ттт , |
|
г |
|
пока- |
Рис. |
111.2. |
Диаграмма |
II 1.1. Однако |
ОПЫТ |
для |
определения типа |
|||||
зывает, что |
расчеты |
парамет- |
кривых |
Джонсона |
||||
109
ров распределений кривых Пирсона [75] весьма слож ны. Поэтому без ущерба для точности целесообразно в рецептурно-технологических задачах перейти к описанию распределений кривыми Н. Джонсона, который показал [41, 75], что преобразование е=/{л'} типа (111.51) при водит к семейству кривых и областей, более обширному (рис. III.2), чем в методе Пирсона. Были исследованы три системы преобразований Sb (III.52), S L (III.53) и Su (III.54), из которых далее в примере рассматривается первое.
“ |
V + 4Y"); |
|
(III.51) |
||
|
|
|
|
|
|
'M |
= |
W |
x — k |
|
(III .52) |
I, |
j |
ь (x + X0 — xj ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(III.53) |
lg |
X '- Яд + |
У (х -- ХдУН-Х2 |
(III.54) |
||
|
|
|
|
||
где у, Ц, Х0, X — четыре параметра |
распределения |
Джонсона; |
|||
е— нормированная, нормально распределенная ве личина.
Порядок определения параметров у, rj, Х0, X рассмот рен в примере III.19.
Пример Ш.19. Определить по данным 134 испытаний песка па содержание глины (пример III.17—III.18) параметры 5 В-распре
деления. Минимальная граница Х0 известна: нулевое содержание
глины |
(Л0= 0 ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) выписываем вариационный ряд (в возрастающем порядке): |
||||||||||||
Номер |
• • • б |
7 |
8 |
■■ G6 |
67 |
G8 |
••- |
127 |
128 |
129-- |
||
пробы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X;, |
% |
■■■ 0,32 |
0,32 |
0,32 |
■■■ 2,88 |
2,9 |
2,9 |
■ |
10,06 |
11,11 |
11,1 |
|
б) |
определяем |
медиану и д-цептили |
(см. гл. II); |
если их оценки |
||||||||
оказываются дробными, |
то |
Me, |
Xq |
и Х {- д находят |
интерполяцией |
|||||||
(обычно <7=5%). Так, |
при |
134 |
измерениях |
Me проходит между |
||||||||
пробами № 67 и 68 п составляет 2,9. Аналогично находим, что А''5=
= 0,32 |
и АГэ5= 11,1 (первому |
соответствует |
номер 6,75, второму — |
128,2); |
последовательно рассчитываем оценки X*, г|* и у*: |
||
в) |
|||
|
X* = |
(Me — Х0) X |
|
(Me - |
Хв)(Х9 - Х0)+(/Ие—X0)(Xj~q—Х0)—2(Xq—X0)(X i—g—X0) _ |
||
|
(Me - X„)2 _ |
(X„ - X„) ( X i - q |
- X0) |
IIO
= 1.5,53;
i f = (Ч- q — e9) :ln
V* = вi - q — i f In
(-Xj—q— W o — ^ Xq) (xq-% 0)(k0- x - X i - q)
= 0,69;
X i —q — X q
= 1,013;
ѵЯ„ + Я — X i —q
г) записываем распределение Джонсона типа SB :
Ф м |
|
Г| Я |
X |
= —— |
|||
|
|
~Ѵ2к(х-—Я0)(Я—Я0—х) |
|
Г |
|
1 |
X — Яо |
Х ехрІ-т |
У —11In |
X-- Х-л |
|
|
|
|
|
|
|
10,69 |
X |
|
|
|
|
|
|
Ѵ 2 я х (15,53— х) |
|
X ехр { - у |
(і ,01 - 0,69 In |
, J — |
|
(III. 55)
(III. 56)
(III. 57)
(III.58)
д) |
выбираем |
интервал группирования случайных величин X-, |
||||||
(в данном |
случае |
1%) и |
рассчитываем фактические частости ѵ, в |
|||||
% попадания Xt в каждый интервал; |
с помощью |
таблиц |
||||||
е) |
по |
распределению |
Джонсона (III.58) |
|||||
функции нормального распределения (прил. II) рассчитываем теоре |
||||||||
тические частости ѵт; |
|
|
|
|||||
ж) |
приводим |
проверку адекватности описания распределением |
||||||
(III.58) |
фактических частостей с помощью %2_критерия при числе |
|||||||
степенен |
свободы |
f — k—4—1 = 11—4—1=6 |
(четырехпараметрпче- |
|||||
скнй закон); |
с) |
|
9 |
|
|
|||
з) |
|
' |
|
|
расхождения |
(ѵ—ѵт) |
||
если |
|
Хф соответствует 73{Хф}>5%, то |
||||||
между эмпирическими и теоретическими частостями можно признать случайными и считать, что функция ср (х) адекватно описывает ис
ходную информацию (поскольку Хф=9,21 и -Р{Хф}>5%, то в дан
ной задаче сделан такой вывод); и) по фактическим т и теоретическим т Т частотам строится
совмещенная гистограмма распределения, наглядно иллюстрирую щая степень их совпадения.
Опыт показывает следующие немаловажные для тех нолога преимущества такого подхода:
в отличие от других семейств кривые Джонсона охва тывают все поле в координатах ßi и ß2;
во всем поле ßi — ßo находятся лишь 3 типа кривых Sb, Sl и S u, а на рис. III.1 таких разновидностей 9,
111
в семействе Пирсона— 10, каждая из которых отлича ется методикой расчета;
для расчета кривых Джонсона необходимы лишь две широко распространенные в инженерной практике таб лицы — нормального распределения и натуральных лога рифмов; другие семейства кривых для расчета требуют таблиц, опубликованных в специальных изданиях;
кривые Джонсона могут описывать распределение в ограниченном диапазоне, что необходимо для сохране ния физического смысла статистической модели (напри мер, содержание компонента меняется только от 0 до 100%, а не от —оо до +оо).
Г л а в а IVr
РАСЧЕТ, АНАЛИЗ И ПРИМЕНЕНИЕ МНОГОФАКТОРНЫХ ПОЛИНОМИНАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ
IV. 1. Метод наименьших квадратов. При обсуждении методов математического моделирования в рецептурно технологических задачах отмечалось (гл. 1), что если необходимо описать поведение системы в конкретной ситуации, то можно искать модель в виде полинома т-той степени от /(-факторов.
кк
У 0 Ро '1 |
V |
ß, Х і |
У ß..Xr |
И Р і(. х г х . . . . . ( і ѵ . і ) |
|
— j I К I |
t*i |
||
|
1=1 |
Ы1 |
||
На практике обычно достаточно ограничиться поли номом второй степени, который содержит одни свобод ный член ßo, К линейных членов с коэффициентом ßi, К квадратичных членов с коэффициентом ßü, С2К пар
ных сочетаний |
с коэффициентом ß,-/ (^к — ~ ^ 2—~) ’ |
всего членов |
L: |
L = Н - К + К -I- С\ = |
1 + 2 К + ^ -2- 1) |
|
|
= (К + 2) |
(К+ 1) |
(IV.2) |
|
2 |
|||
|
|||
Полином (IV.1) может быть преобразован в форму линейную по параметрам, если заменить X? на К допол
нительных линейных членов от Хк+\ до Хк+к, а Х,Х,- — на С^ линейных членов от Х2к+\ до XL. В результате по
лучается полином первой степени от L—1 факторов
^ѳ = Ро+ V ß , * - |
(ІѴ.З) |
(=i |
|
Для такой линейной модели и нужно по эксперименталь-
8— 1023 |
113 |