Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf

личинами характеризуется коэффициентом корреляции р{Ху}, оценка которого г{Ху} вычисляется как

Собственно корреляционный анализ сводится к про­ верке гипотез об отсутствии корреляции между X и Y (Н0: р{Ху} =0) и о доверительных интервалах для ко­ эффициента корреляции р{Лу}, если он не равен нулю.

Рис. ІѴ.З. Номограмма а для определения доверительных интерва­ лов коэффициента корреляции р{ли/} при а=5% и схема б работы

с ней (цифры иа кривых — объем выборки)

Проверка Н0 проводится по ^-критерию при f = N—2 (если t{r}<itтабл, то гипотеза об отсутствии линейной

Для определения границ доверительного интервала р№/} удобно пользоваться таблицами [4, 16] и номо­ граммами (для Р =1—а = 95% она приведена на рис.

133

IV,За; правило пользования номограммой показано на рис. IV.3, б ).

Пример IV.6. Определить значимость оценки коэффициента кор­ реляции г {Ху} = —0,788 по данным примера 11.19 и найти довери­ тельные интервалы для р{Ху} (N — 43, а = 5% — односторонний

критерий).

Проверяем нуль-гипотезу Н0: р{Л'(/}=0.

t {r) = 0 ,7 8 8 У й : ] Л -0 ,7 8 8 2 = 8 ,2 .

Поскольку і{г) >(тпбп = 1,683, можно считать, что X и У кор­

релируют. По номограмме иа рис. ІѴ.З найдем доверительные ин­ тервалы

— 0,62 < р {Ху} < — 0,88.

Для оценки силы линейной связи между К случай­ ными нормально распределенными величинами (индекс 1 присваивается той переменной У, влияние на которую остальных К— 1 факторов исследуется) используется множественный (совокупный) коэффициент корреляции Р, для которого вычисляется оценка Я. Парные коэф­ фициенты i'ij связаны с Я следующим соотношением:

которое для К = 3 принимает вид:

Коэффициент Р изменяется от 0 до +1. Нуль-гипо­ теза Н0 : Р = 0 проверяется [5] по /Ѵкритерию с числом степеней свободы в числителе К— 1 и в знаменателе N—К (N — число информационных комплексов):

(а обычно 5%).

Пример 1V.7. При изучении взаимосвязи между критериями ка­ чества силикатного материала (см. примеры 11.19 и IV.6) по N = 4 3

134

информационным единицам были рассчитаны оценки коэффициентов корреляции r{Rn3R ls} =0,87, r{R„3y} = 0,00 и г{/?і5у) =0,41, где

R is — прочность на сжатие после 15 циклов замораживания и оттаи­

Корреляционный анализ (при выполнении указан­ ных выше условий применимости) — эффективный ме­ тод выявления и расчета силы связи между различными количественно оцениваемыми свойствами готовой про­ дукции, а иногда между случайно изменяющимися тех­ нологическими факторами. При обработке результатов

135

экспериментов, в которых уровни Л'; фиксируются до определения Y, этот метод анализа применять не следует (нужен регрессионный анализ). Достаточно полное из­ ложение особенностей корреляционного анализа (в том числе и при криволинейной линии регрессии) можно найти в работах [4, 5]. Корреляционный анализ целе­ сообразно применять и в тех рецептурно-технологиче­ ских задачах, в которых исследуется связь между ка­ чественными признаками или оценивается качественно выход системы («отлично» — «хорошо» — «удовлетво­ рительно» и т. п. — эти понятия заменяются в дальней­ шем рангами, например 1—2—3...). Для проверки ги­ потез в этом случае используются непараметрические

критерии [12, 36, 61].

IV.6 . Достоинства и недостатки моделей, построенных на основе наблюдений. Вопрос о достоинствах и недо­ статках моделей, построенных с помощью некоторого математического метода на основе какого-либо источни­ ка информации, является весьма существенным, посколь­ ку именно его решение позволяет определить область применении моделей в технологических задачах [25].

Если исследователь ставит своей целью получение некоторой интерполяционной модели для строго ограни­ ченной области изменения входных параметров, связан­ ной с конкретным производством, то на первый план мо­ гут выступить достоинства моделей, описанных в преды­ дущих разделах. К этим достоинствам следует отнести: а) возможность получения удовлетворительных для тех­ нолога по точности интерполяционных моделей (градуи­ ровочных, информационных, прогнозирующих); б) воз­ можность использования информации, уже накопленной предшественниками.

Классический регрессионный анализ является полез­ ным и в том случае, когда нельзя поставить специальные эксперименты, а можно лишь наблюдать некоторые ис­ следуемые явления. Однако из-за нарушений основных

сейчас сравнительно невелика, но можно надеяться, что решение метрологических задач и совершенствование математического аппарата позволят увеличить число по­ лезных моделей.

Если же целью решения задачи является получение модели управления технологией или модели для оценки

136

роли факторов, действующих в системе [46], то исполь­ зование регрессионных моделей на основе «пассивного» эксперимента малоэффективно. В связи с нарушением исходных предпосылок регрессионного анализа (и осо­ бенно часто корреляционного, еще более чувствительного к этому) «оценки коэффициентов регрессии оказывают­ ся смещенными» [57], а информация может равномерно распределяться по большому числу коэффициентов ре­ грессии, каждый из которых в отдельности может ока­ заться незначимым [55]. Эти недостатки, исключающие возможность интерпретации коэффициентов регрессии, иллюстрировались в примере IV.5. Более корректным и эффективным приемом решения задачи при такой фор­ мулировке цели являются лишь специальные опытные работы на основе современной математической теории эксперимента.

Анализ некоторых работ, в которых используются ме­ тоды множественного регрессионного анализа, вскрывает еще один недостаток субъективного характера — фети­ шизацию математики. У технологов, затративших много сил на составление уравнений, создается иллюзия досто­ верности таких сложных моделей и всемогущества ЭЦВМ. В результате этого в стороне остается проверка статистической значимости моделей и коэффициентов в них и оценка информационной способности, без которых трудно судить о надежности и достоверности решений. К неправильным выводам могут привести попытки дать обязательное субъективное объяснение интерполяцион­ ных моделей с точки зрения причинно-следственных связей.

IV.7. Основы математической теории эксперимента. Полный факторный эксперимент и дробные реплики.

Оценки коэффициентов регрессии в модели

по методу наименьших квадратов определяются в мат­ ричной форме следующим уравнением:

[В] = [Д] [X*] [у] = [М]-* [X*] [у] =

137

в котором [х] — прямоугольная матрица значений фак­ торов, [М] = [х*] [х] — информационная матрица (квад­ ратная матрица коэффициентов нормальных уравнений)

и[Д] = [М]-> — квадратная ковариационная матрица. От диагональных сц и внедиагональных с,-,- элементов

ковариационной матрицы [Д] зависят не только оценки коэффициентов регрессии Ь0, &і, Ьц, Ö,-j, .... но и стати­ стические характеристики модели: ошибки определения

и т. п. (см. п. ІѴ.З).

При наблюдениях и в большинстве случаев тради­ ционного планирования экспериментов технолог сначала собирает информацию в матрицы [х] и [у], потом оп­ ределяет вектор неизвестных коэффициентов модели [В] и статистические характеристики модели по матрице [Д]. При этом, естественно, свойства матрицы [Д] уже определены всем предыдущим ходом эксперимента и мо­ жно обсуждать их оптимальность лишь апосториорно (после опыта). Однако из соотношения (ІѴ.45) ясно, что матрицы [х], [М] и [Д] не связаны с вектором наблю­ дений [у], поэтому возможно еще до опытов (априорно) рассмотреть свойства матрицы [Д ], выбрать их неко­ торым оптимальным образом (с точки зрения будущей модели) и, возвращаясь от матрицы [Д] к [М] и [х],

вектора [у]) при расчетах (по ІѴ.45) и определении статистических характеристик модели оптимальность ре­ зультатов работы обеспечена предварительным иссле­ дованием [Д]. Критериев [56] оптимальности планов [х] достаточно много: минимизация числа опытных то­ чек N, независимость оценок коэффициентов регрессии r{bibj}= 0 , равноточпость определения каждого коэф­

фициента s{bi} =s{bj}, минимизация средней ошибки

— А

предсказания s{Y}, независимость этой ошибки от на­ правления оптимизации и др. Таким образом технолог может выбрать тот план, который по своим свойствам наилучшим образом соответствует целям конкретных экспериментальных работ. Разработка планов и методи­ ка их применения, а также анализ эффективности экс­ перимента в различных отраслях науки и техники явля­

138

ются составляющими нового научного направления — ма­ тематической теории эксперимента [1, 2, 38, 47, 54, 55, 72 и др.].

При планировании эксперимента целесообразно не­ зависимые переменные Хграссматривать не на нату­ ральных шкалах с физической размерностью (кас/слг2, кг/м3, градус, час и т. д.), а на безразмерных кодирован­

На рис. ІѴ.4 показано, что прямоугольное двухфак­ торное пространство преобразуется при введении новых

Рис. ІѴ.4. Взаимосвязь факторного пространства в на­ туральных Хі и кодированных х,- переменных п воз­ можность регулирования х,- в сторону отрицательных значений

кодированных переменных в квадрат с центром в нача­ ле .координат Хоі и Х02 и координатами вершин л'; = + 1 .

Пространство К факторов будет ограничено /(-мер­ ным кубом с координатами центра Хі = 0 и вершин Х і = = ±1. Вокруг такого гиперкуба можно описать /(-мер­

ную сферу радиусом У К. Следовательно, с увеличе­ нием числа факторов К радиус обследуемого простран­ ства возрастает, что является одним из существенных преимуществ многофакторного эксперимента по срав­ нению с традиционным (однофакторным).

Поскольку все безразмерны, то коэффициенты Ь0, Ьі, Ьц и bij имеют размерность выхода Y. Факторы Хі

139