Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf

* Далее вместо «+ І» иногда записывается « + * , вместо с—I» записывает­ ся «—».

ний столбец 7 содержит кодовое обозначение строк: на­ пример, буква «а» обозначает, что соответствующая пе­ ременная нт находится на верхнем уровне; «ав» показы­ вает, что на верхних уровнях находятся обе переменные; символ (I) обозначает, что обе переменные — на ниж­ них уровнях. Кодовые обозначения значительно сокра­ щают запись.матриц. Так, табл. ІѴ.З для планирования

Число опытов (четыре) равно числу оцениваемых па­ раметров {Ь0, b1, Ь2, bі2), и на проверку гипотезы об адекватном представлении результатов эксперимента моделью (ІѴ.63) не остается степеней свободы. Однако если явление может быть описано линейной моделью (без взаимодействия Х\Х2), то одна степень остается для проверки гипотезы адекватности.

обходимо было оцепить, как изменяются в -зависимости от этих фак­ торов напряжения R^. (в долях от разрушающих), при которых

144

появляются видимые (в микроскоп) трещины. Осуществлен полный факторный эксперимент 22 при:

Матрица плаиироваиня, результаты эксперимента и расчетная матрица приведены в табл. IV.4. Оценка дисперсии s2{R^} =

= 8,4-10-4 при числе степеней свободы /о= 30 .

Т а б л и ц а 1Ѵ.4. К построению модели в примере 4.11

приравнять нулю. Окончательно модель в кодированных перемен­ ных имеет вид:

R* = 0,5925 -I- 0,0675л:! — 0,0325.ѵ2. (б)

Для удобства применения модели в инженерных задачах допу­ стимо заменить в (б) Хі на натуральные переменные по (а):

Матрица планирования для трех переменных 23 по­

лучается из матрицы 2 2 при повторении ее дважды: пер­ вый раз при значении х3 на нижнем уровне, второй раз — на верхнем. Это формально равносильно умножению кодовой записи матрицы один раз на (I), второй— на с:

Это действие можно применить при К факторах [22]

ипостроить любые планы 2К.

Вполном факторном эксперименте число опытов ра­

стет по показательной функции N = 2K. В то же время число іі{Ьі} линейных эффектов растет пропорционально К, а число эффектов в неполной квадратичной модели —

В тех случаях когда можно ограничиться линейным приближением (априори известно, что все ßjj = 0) или пожертвовать оценкой некоторых эффектов взаимодей­ ствия (это возможно на первых этапах исследования, когда при минимальной затрате ресурсов необходимо получить некоторую информацию о явлении, хотя бы и не очень точную), то число опытов можно резко сокра­ тить, применяя планы, построенные по методу дробных реплик. Эти планы представляют собой некоторую часть матрицы ПФЭ, сохраняющую свойства ортогональ­ ности. Если взята (Ѵг)*-я часть матрицы ПФЭ, то такой план называется регулярной дробной репликой 2К~1. Рассмотрим реализацию этого метода на примере трех­ факторного эксперимента.

Если есть основания априори полагать, что ß12 = ßi3 = = ß2 3 = 0 (линейная модель, описывающая плоскость), то достаточно поставить четыре опыта — ну^кно опреде­

146

в матрице независимых переменных ПФЭ—22, заданной табл. ІѴ.З, можно приравнять ХіХ2 = х3 и получить план для трех переменных Х\, х2 и х3, задаваемый правой по­ ловиной табл. ІѴ.5.

Если же в действительности окажется, что в данной задаче ßi2 # 0 , то коэффициент Ь3, оцененный по такому плану, будет оценкой суммы ß3 + ßi2, что можно записать следующим образом: £3-НЗз+ Рі2 [55, 54]. Коэффициент Ь3 является смешанной оценкой, под которой понимается [6 6 ] оценка коэффициента регрессии, одновременно учи­ тывающая несколько эффектов, причем, по крайней мере, два оцениваемых эффекта не равны нулю; в плане экс­ перимента колонки одновременно учитываемых эффек­ тов имеют одинаковые наборы значений.

В первой полуреплике 23-1 (табл. ІѴ.5) смешанной оценкой является не только коэффициент Ь3, но и коэф­

фициенты 6 r->-ßi + ß23 и b2->-ß2 + ßi3. Если возникают сом­ нения в том, что ßij —0 , то можно поставить еще четыре опыта при х3 ——Х\Х2 по второй полуреплике 2 3 -1 (табл. ІѴ.5), которая вместе с первой дает ПФЭ-23. При рас­ щеплении полного факторного эксперимента на полуреп­ лики в первую отбирались строки с нечетным числом кодовых букв (выполняется требование х3 = Х\Х2)\ во вто­ рую— с четным, причем (I) всегда считается четным. Такие реплики, содержащие только четные или нечетные комбинации букв, называются главными.

Соотношение х3 = лг1х2 (или х3 ——Х[Х2) создает дроб­ ную реплику в плане 23_1 (табл. ІѴ.5) и называется ге­ нерирующим соотношением. В планировании экспери­ мента под генерирующим соотношением понимается [54] такое соотношение, которое показывает, какие взаимо­ действия заменены новыми факторами при построении дробной реплики. Еще более общим понятием является определяющий контраст — соотношение, задающее эле­ менты столбца матрицы планирования, соответствующе­ го фиктивной переменной х0= + 1. В рассматриваемом плане определяющий контраст будет получен, если обе части генерирующего соотношения х3 = Х\Х2 умножим на

Определяющий контраст дает возможность устано­ вить, какие оценки являются смешанными. Для этого

последовательно умножим обе его части на каждый из факторов .V;. Например, для фактора Л'і получаем:

Л'і (хгх2х3) = XL*1 ;

(ІѴ.6 6 )

хйх3 = лу,

следовательно, оценка bi-»-ßi + ß23; аналогично опреде­ лим 6 2-^ß2 + ßi3 и b3-^ß3 + ß i2- Полное изложение методов построения дробных реплик дано в работах [1, 2, 55]. Некоторые дробные реплики приводятся в прнл. VIII.

Если система изучается при одновременном измене­ нии большого числа факторов (/(73=7 ) на двух уровнях, то целесообразно использовать насыщенные ортогональ­ ные планы, в которых все степени свободы используются для определения коэффициентов 6 *. Такие планы (мат­ рицы Адамара) построены для любых N^.200, кратных четырем, за исключением Ѵ= 188 [57]. Опыт решения рецептурно-технологических задач показывает, что ис­ пользование матриц Адамара весьма полезно на первом этапе исследования, когда нужно отобрать наиболее су­ щественные для данной ситуации факторы А; (отсеиваю­ щий эксперимент).

Пример ІѴ.10. Необходимо оценить [28] эффективность влия­ ния четырех комбинированных добавок-электролитов NI-LiCl+NaaSO«; КОН+К2СО3; NH4G-I-K2CO3 и KOH+Na2SÖ4 на прирост прочности

Планирование целесообразно на первом этапе исследований про­ вести на главной полуреплике 25_1, которая позволяет оцепить раз­ дельно все линейные эффекты и взаимодействия при расходе четырех опытов на каждую парную добавку. В табл. ІѴ.6 указаны кодиро­ ванные переменные и уровни их варьирования. В ней первая смена

148