Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
могут принимать и положительные, и отрицательные зна чения. Так, величина л'і= —0,5 показывает (см. рис. IV.4), что точка имеет координату по оси лц ниже центра фак торного пространства, ио выше Аг] = 0 в натуральных пе ременных. При этом физический смысл данного фактора
Рис. ІѴ.5. Поверхности отклика линейной о, неполной б и полной в
квадратичной модели
Хі полностью сохраняется до тех пор, пока связанная с ним величина Хі не выйдет за пределы, ограничивающие этот смысл.
Двухфакторная полиномиальная модель (ІѴ.44) в зависимости от значения коэффициентов имеет, в част ности, следующую геометрическую интерпретацию:
а) |
если 6 ц = 6 22 = 6 і2= |
0 , то ома описывает плоскость |
|||
(рис. |
ІѴ.5, а), которая будет параллельна |
осям Х\ |
и х2, |
||
если |
Ьі = Ь2 = 0\ |
но 6 12 не равно |
нулю, то |
она |
|
б) |
если |
Ьц — Ь22 = 0, |
|||
описывает |
поверхность |
гиперболического |
параболоида |
||
(рис. ІѴ.5, б), которая будет иметь тем большую седло-
видность, чем |
больше |й 12|; |
в) если Ь\\ |
и Ь22 отличны от нуля, то модель описы |
вает (рис. ІѴ.5, ß) поверхность второго порядка (пара болоид, цилиндр и т. п.).
Если коэффициенты b0, bit Ьц, Ьц взаимонезависимы (а такое условие обеспечивается при ортогональных пла нах— см. ниже), то можно интерпретировать каждый из
коэффициентов модели в отдельности. В этом случае они
л
характеризуют степень влияния факторов на выход У. В математической теории эксперимента такая «степень влияния» носит название эффекта фактора лц [2 , 6 6 ].
Линейный эффект численно равен удвоенному абсо лютному значению коэффициента 6 ,-, что соответствует
ИО
л
изменению У при переходе только этого фактора Хі с
уровня |
+1 до уровня —1 и наоборот. Абсолютное чис |
ловое |
значение линейного эффекта Ьі показывает ско- |
|
л |
ростъ изменения У в зависимости от Хі. Е сли при каком-
то ха получен нулевой коэффициент Ьа —0 , то |
это зиа- |
л |
или диа |
чит, что фактор ха или не влияет на У вообще, |
пазон изменения фактора 2АХа столь мал, что влияние
л
ха на У в данном диапазоне не обнаруживается. При
необходимости технолог может увеличить АХа и вновь
л
проверить влияние ха на У.
Квадратичный эффект численно равен Ьц и характе ризует нелинейность модели. Абсолютное числовое зна
чение квадратичного эффекта Ьц представляет собой
л
ускорение роста' У при изменении Хі. Эффект взаимо
действия численно равен Ьц и характеризует совместное
л
влияние на У двух факторов Хі и Xj при изменении обоих
от 0 до 1 1 1 или влияние одного фактора Хі на связь дру-
л
того Xj с выходом У. Если в неполной квадратичной двух
факторной модели х2 |
приравнять | 1 |, |
то скорость роста |
|
л |
Хі |
изменится: |
|
У в зависимости от |
|
||
У = (Ь0-I- 6 2) |
+ |
(6 , -I- Ьѵ2]л-, = |
Ь'а+ Ь[ л-,. (ІѴ.49) |
Таким образом, в описывающей гиперболоид модели каждый фактор х{ может быть оценен лишь с учетом всех связанных с ним факторов л> Анализ знаков при
коэффициентах указывает направление, в котором нужно
д
регулировать факторы для оптимизации выхода У. Так,
л
для увеличения У в линейной многофакторной модели все факторы х,, имеющие отрицательный коэффициент
Ьі< 0, нужно принимать лг,-=—а (см. рис. ІѴ.4). В этом
л
случае ДУ>0, поскольку (—Ь) (—а )> 0 .
Следует отметить, что такой алгебраический (или геометрический) подход к интерпретации полиномиаль ных моделей обязательно дополняется анализом с при менением технологических терминов, который специфи чен для каждой рецептурно-технологической задачи, и
141
степень его глубины зависит от целей работы и профес сиональной подготовки технолога.
В цепи идей, последовательное развитие которых при вело к созданию современной математической теории эксперимента, одним из первых звеньев являются орто гональные планы, они позволяют определять все коэф фициенты регрессии линейной и неполной квадратичной моделей (а при некотором преобразовании переменных и квадратичные эффекты нелинейной модели) независи мо друг от друга. Для такого плана должно быть p{bibj}=0, т. е. матрица [Д] должна быть диагональна,
|
о о |
0 |
• ■ |
|
II |
О |
С11 |
|
|
* |
|
|
|
0 |
0 |
• |
0
' о
с к к
поэтому будет диагональна и информационная матри ца [М]
(00) |
0 |
• |
■ |
0 |
|
[М] = 0 |
(И) |
• |
• |
0 |
(IV.51) |
0о ■ • (КК)
Всилу диагональное™ [М] скалярное произведение всех вектор-столбцов матрицы [х] равно нулю (условие
ортогональности матриц):
W) = £ |
хіи = О (і Ф /; і, / = 0 ,1 ,..., К). (ІѴ.52) |
И=1
За счет введения кодированных переменных х\ мож но получить план с симметричным расположением всех независимых переменных относительно центра экспери мента, т. е. выполнить условие
N |
|
(Ю)= I] хіи = 0 (і = 0, 1.... ,К). |
(ІѴ.53) |
и= 1 |
|
При кодированных переменных Хі в двухуровневых планах диагональное™ [М] приводит к равенству:
Ш) = 2 х і = N, |
(IV.54) |
1
142
поэтому диагональные элементы матрицы [Д] равны:
cn = N~\ |
(IV.55) |
Три свойства (IV.52) —(IV.55) ортогональных двух уровневых планов при построении линейных и неполных квадратичных моделей позволяют получить из формул классического регрессионного анализа весьма простые отношения [1, 2, 55]:
N |
|
|
|
|
|
Х і и У а = |
|
|
(HP*1 |
: , K ) ; (IV 56) |
|
[ |
|
|
|
|
|
bo = |
i ( o |
n |
|
(IV.57) |
|
ba = -J- (ijY) |
|
(при i'=£/); |
(IV.58) |
||
|
|
|
|
|
(IV.59) |
b |
==/ |
|
|
• |
(IV. 60) |
KP |
|
V n |
' |
|
|
s s HA« 2 |
у .’ |
- « |
І ь ь |
(IV.61) |
|
u=1 |
|
|
i=0 |
|
|
/ h a |
= |
N - L . |
(IV.62) |
||
К числу ортогональных планов принадлежит широко известный экспериментаторам полный факторный экс перимент (ПФЭ) типа 2К. Если в эксперименте с двумя переменными Х\ и х2, каждая изменяется (см. рис. IV.4) на двух уровнях (например, при подборе состава бетона расход цемента Х\ изменяется на уровнях 280 и 320 кг/м3, а расход воды х2— на уровнях 190 и 210 л/м3), то все возможные комбинации для варьируемых таким образом двух факторов будут исчерпаны перебором, приведенным в табл. ІѴ.З (столбцы 3 и 4). Верхний уровень в ней со ответствует + 1, а нижний —1. Каждая строка ее отно сится к одному из экспериментов; в столбце 2 приведены
значения |
фиктивной переменной Хо= + 1 (вводится для |
|
удобства |
расчета Ь0 как среднеарифметического |
всех |
уи); в столбце 3—4 — значения и х2 (собственно |
пла- |
|
143