Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf

11.7. Понятие о статистической гипотезе. Сущнос статистического анализа заключается в том, чтобы на основе выборки вывести суждение о свойствах генераль­ ной совокупности. Поскольку это суждение о делом де­ лается по информации о части, то само суждение носит вероятностный характер и содержит элемент риска.

Статистической гипотезой Я называется любое ут­ верждение о свойствах генеральной совокупности. За­ дача проверки статистических гипотез является одной из важнейших не только в математической статистике, но и во всех экспериментальных работах. Только при вы­ движении и проверке тех или иных статистических гипо­ тез осуществляется на практике вероятностно-статисти­ ческая концепция, а совокупность всех осуществляемых до этого математических операций можно рассматривать лишь как вычислительную процедуру, подготовляющую информацию для проверки этих гипотез.

Процедура проверки непротиворечивости гипотезы Я имеющимся экспериментальным (выборочным) данным называется статистической проверкой гипотез и осуще­ ствляется с помощью того или иного статистического критерия Сг. Очень часто в экспериментальной прак­ тике формулируется в качестве основной, так называе­ мой нуль-гипотезы Я0, гипотеза о том, что различие меж­

для двух выборок А и Б отсутствует, а наблюдаемые от­ клонения ДѲ = Ѳ'Л—0*в (например, Аа2 = 5д—s2B) объяс­

няются случайными колебаниями в выборках (факти­ чески ДѲ равно нулю). Все остальные гипотезы называ­ ются альтернативными и обозначаются Н\. При про­ верке гипотез возможны четыре случая:

первый — фактически истинна гипотеза Я0, и она до­ пускается критерием Сг;

второй — фактически истинна гипотеза Я0, но она отвергается критерием Сг;

третий — фактически истинна гипотеза Я ь а Я0 от­ вергается критерием Сг;

четвертый — фактически истинна гипотеза Я ь но Я0 допускается критерием Сг.

Истина достигается только в первом и третьем слу­ чаях. Во втором случае допускается ошибка первого рода: отклоняется верная гипотеза Я0; в четвертом слу­

50

чае допускается ошибка второго рода: принимается лож­ ная гипотеза Но, в то время как верна альтернативная.

Вероятность допустить ошибку первого рода назы­ вается уровнем значимости и обозначается а (соответ­ ствующая ей область Сг называется критической).

Если объем выборки п велик (n>1000), то имеется принципиальная возможность добиваться минимизации ошибок а и ß. Если объем фиксированной выборки мал, то обычно задаются уровнем значимости а, а статистиче­ ский критерий Сг выбирают так, чтобы минимизиро­

вать ß.

Чем существеннее потери от ошибочного отклонения гипотезы Н0, тем меньшей выбирается величина а. Прак­ тика исследований в области технологии [23] показы­ вает, что можно ориентироваться на следующие значе­

ния а:

а) для поисковых рецептурно-технологических задач а = 5—10%;

б) для окончательных решений в таких задачах а = = 2 -5% ;

в) для задач контроля качества неконструкционных материалов (отделочных, изоляционных и др.) а = = 1-5% ;

г) для задач контроля качества конструкционных материалов и несущих конструкций а = 0,1— 1% (мень­ ший предел для случаев, когда нарушение нормальных условий эксплуатации связано с риском для жизни людей).

Основные этапы проверки гипотез Я0 сформулирова­ ны в табл. 11.8. Они комментируются для случая про­ верки гипотезы Н0 : Ца —т}треб.

Пример 11.16 [22]. Проверить нуль-гипотезу о равенстве истин­ ной средней т)л фактической прочности бетона марки 400, если че­

70% марочной, следовательно, тітрсб=0,7-400=280 кгс/см2. Решение дано в табл. 11.8.

Следует отметить, что статистические критерии по своей природе отрицательны. Если значение изучаемого параметра попадает в область принятия гипотезы, то это значит лишь, что гипотеза не противоречит экспери­ ментальным (выборочным) данным и ее с риском а мо-

52