Файл: Баженов, Ю. М. Перспективы применения математических методов в технологии сборного железобетона.pdf

жно признать правомерной (в таких случаях будем го­ ворить «гипотеза допущена») по крайней мере до тех пор, пока более глубокие исследования по расширенной информации или с помощью более мощных критериев не приведут к противоположному результату. Кроме того, неотрицательный результат проверки гипотезы Н0 не означает, что эта гипотеза лучшая или единственная (свойством непротиворечивости могут обладать и дру­ гие гипотезы)— ее следует рассматривать лишь как одно из правдоподобных, а не абсолютно достоверных утверждений.

ІІ.8. Проверка гипотезы о нормальности распределе­ ния. При достаточно большом числе наблюдений моле­ но вариационный ряд описать кривой распределения. Если предполагается, что случайная величина X в гене­ ральной совокупности распределена по нормальному за­ кону ср;у{х'}, то формулируется нуль-гипотеза Н0: ср{Х} =

= (pjv{^}-

Для проверки гипотезы нормальности можно исполь­ зовать оценки коэффициента асимметрии Л* и эксцесса Е*. При этом выдвигаются гипотезы # 0: /1= 0 и Я0: Е = 0, проверка которых осуществляется с помощью довери­ тельных интервалов. Если интервалы «накрывают» ноль, то гипотезу нормальности можно принять. Процентные точки распределения оценок А* и Е* табулированы [16], что позволяет решать задачу без дополнительных вычис­ лений.

Пример 11.17. По данным примера II.15 границы при р=90%

Поскольку в обоих случаях нуль накрыт доверительными интер­

(«критерии согласия»). Одним из самых строгих и на­ дежных критериев является критерий Пирсона

к

„ѴД (nil — ni. I2

53

Критерий Хф не зависит от параметров неизвестной функции ср{К} и поэтому называется «непараметриче­

(прил. IV), найти Р{%ф} при f= k'—I—1.

Если P {x|}> 5% , то гипотеза Я0: cp {X} = срл-{х} до­ пускается как правдоподобная.

Пример 11.18. По данным примера 11.13 проверить гипотезу нор­ мальности по критерию согласия ХфРасчеты приведены

в табл. 11.9: в столбцах 8 и 9 частоты т ^<Ъ объединены; в столбце 10 по данным столбцов 8 н 9 рассчитаны отклонения |т . —гп:ТI,

эмпирическими накопленными частотами и теоретической функцией распределения F{x}.

Расчеты и схема проверки гипотезы весьма просты, однако критерий К дает правильные результаты только в том случае, если известны генеральные т) и а2, что в действительности встречается крайне редко. Если из­

вестны X и s2, то значительно возрастает, особенно при малых выборках, риск ß принять ошибочную гипотезу как правдоподобную. Поэтому в случае применения кри­ терия X нужно для принятия нуль-гипотез брать очень жесткие границы Р{А,}^20—30% и даже Р{Я,}^60% [53].

Пример П.19. По данным примера 11.13 рассчитать критерий Колмогорова X и проверить гипотезу нормальности.

54

55

В табл. II.9 в столбце 13 приведена теоретическая функция У{е*}, рассчитанная для верхних границ интервалов (столбец 12); она нор­

мирована. Максимальная разность между vxj (столбец 14) и /Де*}

ности можно было бы принять, если были бы известны ц и а.

11.9. Система двух случайных величин. Если одн временно фиксируются факты появления двух случай­ ных величин X и У, то можно говорить о системе двух случайных величин (X, У). Результаты наблюдений дву­ мерной случайной величины (X, Y) геометрически изо­ бражаются в виде совокупности точек плоскости с ко­ ординатами {(*,, Уі), (Х'2, у2), (Хі, Уі), ..., (Хп, !/„)}.

Если число наблюдений п велико, то возможен пере­ ход к сгруппированным данным. В этом случае каждая ось разделяется на k и / интервалов размером dx и dy. Образуется kl прямоугольников, середины которых име­ ют координаты x'j и у . Для определения эмпирических

частот тху аналогично правилу (11.52) подсчитывается число точек, попавших в прямоугольник с координатами

х ’і 11У*■

Плотность вероятности (11.71) нормального распре­ деления двумерной случайной величины (2СУ) геомет­ рически изображается поверхностью с экстремумом в точке с координатами ах и ау, которые по своему вероят­ ностному смыслу представляют значения средних ком­ понент г|.г- и % системы X и У (ох2 и о2 дисперсии тех же

компонент):

(11.71)

В приведенной формуле есть дополнительный (пя­ тый) параметр р{ху}, характеризующий в некотором смысле зависимость Х и У друг от друга; этот параметр называется коэффициентом корреляции и определяется по второму смешанному центральному моменту дщ, но­ сящему название ковариации (соѵ);

56

Для независимых случайных величин X и Y кова­ риация соѵ{ху} = 0 и, следовательно, р{Аі/}=0. Величина р{ху} характеризует степень линейной зависимости меж­ ду двумя случайными, нормально распределенными ве­ личинами (хотя формально его можно вычислять для любой двумерной системы); она существует в преде­ лах— 1^ р {аі/ } ^ 1. Равенство нулю коэффициента кор­ реляции необходимое, но не достаточное условие неза­ висимости X и Y. Из независимости случайных величин вытекает их некоррелируемость, но из некоррелируемости не следует их независимость.

Точечная числовая оценка г{ху} для иесгруппированных данных вычисляется по формуле (11.74), а для сгруппированных — по формуле (11.75):

П

S ( Х і — х ) ( У і ~ ~ у )

г {ху} ■= t = 1

ns (а) ■s {у}

(П.74)

(11.75)

Построение доверительных интервалов для р{ху} и

57

проверка гипотезы Я0: р{л:г/}=0 рассматриваются ниже,

в гл. III.

Пример 11.20. Во ВНИИСтроме были проведены [29] испыта­ ния нзвестково-песчамых автоклавных бетонов, в том числе для ма­ териала 43 изделий заводского изготовления определены объемная масса у (кг/м3) и водопоглощенпе W (%). Результаты испытаний

представлены на рис. 11.9.

По данным рис. 11.9 можно составить таблицу группированных наблюдении (табл. 11.10), определив частоты подсчетом количества

Рис. 11.9. Взаимосвязь между водопоглощением W и объемной массой у

автоклавных бетонов

точек, попавших в соответствующие прямоугольники. Такая табли­ ца называется «корреляционной». В иен номера классов выбраны так, чтобы начало отсчета проходило через максимум частот т х и т у, и определены по формулам:

klniih рассчитывается для проверки расчета Hklmhi— —78). Находим

58