Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Скачать файл (5,74Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 99

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

F (z)-.F (0 )

п. 3. Производные о. о. Предположим, что существует

предел1lim F(z)=F( + 0). Z-* +0

Так как ± t ± f + F ' V ) , то f

{m)dx^zF'(z).

Отсюда по правилу деления на t имеем t

1 с d d г

T J Ж ~Ж Ш*)}<**+

Результат всех этих операций в пространстве обобщенных оригиналов отождествим с операцией взятия производной от о. о. /, что приводит к следующим определениям.

Если существует предел limF(z) = F(0), то о. о., отвечаю-

z-*-0
щий изображению	будем называть	производ
ной о. о. / и записывать в виде
{fit)} = { f ' m	- ^ gL-g(Q>- .	(3.2.7)

Кроме этого понятия введем еще понятие обобщенного дифференцирования. О. о., отвечающий изображению — F(z)

будем называть обобщенной производной о. о. / и обозна чать символом

Dt{f(t)} = D{f{t)} •*-4 - F(z).

(3.2.8)

Произвольный о. о. бесконечно дифференцируем в обоб щенном смысле. В соответствии с определением обобщенно го дифференцирования операцию интегрирования о. о. мож но интерпретировать как операцию обобщенного дифферен цирования отрицательного порядка.

Отметим на примерах различие и связь между обобщен ными дифференцированием и производной о. о.

П р и м е р 1. Введем функцию r)(i)i равную 1 для всех

t > 0. Очевидно, T](f)-bl.	Следовательно,-^-ц^-т-	=0,
т. е.-^-г](0 = 0, но	т- е- DTl() = 6(f)

1 В дальнейшем для упрощения записи будем опускать знак+ перед символом 0, который следует подразумевать во всех случаях, когда речь идет о стремлении к нулю и о соответствующем предельном значе нии функции или о. о.

Пр и м е р 2. С одной стороны, t

F ( z ) - F ( 0 )

T .	е.	= {/(?)}— {/(0)}.
	0
		d	С	1
С другой стороны, ~сП			{f(x)}dx~F(z)— — limzF(z),
	t	0
	t
	d Г	{/(т)}<2т= {/(*)}—S(£)limz.F(z),		или в частном случае,
т. e'~dt		{/(т)}<2т= {/(*)}—S(£)limz.F(z),		или в частном случае,
	J		2->О
			V
когда limzF(z) = 0, то "л J {/(T)}dt = {/(*)}•
	z~*0
Тогда как для обобщенного дифференцирования
t		t
j	D{f(x)}dx = D jj {f(x)}dx={f(t)j.
0		0

Таким образом, взаимодействие операции обобщенного дифференцирования и операции интегрирования напомина ет взаимодействие между дифференцированием и неопреде

ленным интегрированием в классическом толковании.
П р и м е р		3. Сравним обобщенную и обычную производ
ную многочленов Лагерра.
Имеем L k{t)^-{z—1)*.
Отсюда	D L k{t)+- (z — 1)* =			2	(— 1)"(2 — l)n+fe,	т. е.
	00			71=0
	00
D L k(t)=	2	(-1 )" Ln+k(t).
	71=0
Здесь ряд справа о-сходится.
Кроме того, так как			_d_	^	г- 1)к-2(- 1)к =
Кроме того, так как			dt - ы	^	г- 1)к-2(- 1)к =
= 2 (-1 )П+Л_1( 2 - 1 ) П,			то 4 t		Lk ( 0 = 2(—1)"+*-1 L n (0.
п= 0					п=о

Пользуясь определением обобщенного дифференцирова ния в предположении, что существуют пределы F(0), F'(0),.. . , F (n-1) (0), методом индукции получим

% f = f {n)+ ф- [ а д - т - i t а д ) - . . .

- (3.2.9)

Одновременно, следуя определению обобщенного значе ния о. о. в точке f-»-+0, а также согласно определению про изводной о. о., заключаем, что значения производных о. о. в точке t—»- + 0 определяются соотношением

{/(*)(0)} = ^ - 5 A{ ^ )} \|f=+o	= 4 г ^ ( ° ) .	<3.2.10)
Из выражения (9) следует, что
Dnf = Г + 3<"-i>(0Ш0)} + . . . +	§(t)tf("-1) (0)}.	(3.2.11)

Эта формула устанавливает связь между обобщенным диф ференцированием и производными о. о. в тех случаях, когда последние существуют. Здесь является к-й обобщен ной производной от о. о. 6(t).

П р и м е р	4. Имеет место аналог формулы интегрирова
ния по частям (в частном случае):
t	t
о	о

Действительно,

Но так как

	d,n-1
	+ П2п~	^	z71* 1 F(z)
и
Zn ~ = l ZnF'(z) =			2 »+*- g ; 2 ^ -1 F{z),
то отсюда следует равенство (1 2 ).
П р и м е р 5.	Выясним	смысл выражения t n^ m)(t) (п,
т — натуральные числа). Так как
zn f L z n_±_		О	(—1)п т\	пУт
zn f L z n_±_			(—1)п т\	пКт,
d z n	,m + l			пКт,
		(т —п)! г т +1~ п ’
то
	(О			, пУт	(3.2.13)
		(т—п)\		, и < т _	(3.2.13)
		(т—п)\
Ввиду (13) нетрудно убедиться, что £6'(£) + 6(t) = 0.					Это ра

венство выражает собой известное свойство однородности порядка — 18-функции.

П р и м е р

6. Пусть

<p = eXff<е

Хт {f(x)}dx,

тогда справед-

л и б о D n+1у = Xn+1f - | - Xnf

-) -

Хп~ 1 D f

+ . . .

D nf .

Действительно, так как <p-f-

г-А- F(z), то

Dn+1 о -ь

—

и доказываемое равенство

1 —Аг

•”

zn( l —Xz)

’

является следствием тождества

. = X " + i

4 - Хп 4 - —

4 - . . . + ~

г л( 1 —Аг)

1 г-Пп—1 1' г г,

1 —Аг '

п. 5. Соотношения инвариантности.

Справедливы сле

дующие соотношения:

tmDmf + zm- ^ F ( z ) ,

(3.2.14)

2 ) Dm^ / - b ^ f 2 mF(2)j,

(3.2.15)

dtm

3) (W)mf +

z-£-)m F(z),

(3.2.16)

(Dt)mf + ( £ - z ) mF(z).

(3.2.17)

5 - 5	65

Доказательства.
1.	Так как	Dmf фт F{z), то
		АТП		Аад	= zn	d z m	F(z).
		d zm		Аад		d z m
	tmDmf + zm5-m zm
2.	Так как	tm f + zm	Н 1 Г 1	zmF(z),
2.	Так как	tm f + zm		zmF(z),	t o
	Dmtmf + ± ( z m- ^ z m^ F{z) =					zmF(z).
3. Так как tD{f(t)}-^-z j^F(z), то,					применяя			последова
тельно это правило, получим (16).
4.	Так как	Dt{f(t)}+-	dzF(z), то,		применяя			последова

тельно это правило, получим (17).

Соотношения инвариантности доказаны для неотрица тельных тп. Однако если операцию интегрирования рас сматривать как операцию обобщенного дифференцирования отрицательного порядка, то можно показать, что эти соот ношения остаются справедливыми и для отрицательных тп. Так, для тп —— п (п = 1, 2,...) соответственно получим

!• (^=TjTTn I (*_Т)П_1	(5T=ij77» f {z-uY-iF{u)du.
о		(b)
t	(z—и)п—1	F (u )
2.	(z—и)п—1	F (u )	du.	(3.2.18)
2.	(п -1 )!		du.	(3.2.18)
J ( в - 1 )!	(п -1 )!

{/(*)}

F(u).

Здесь предполагается, что интеграл Jz F(u)du существует

(0 )

или понимается в регуляризованном смысле. Первые два соотношения являются следствиями правила деления о. о. на ?. Вторые два соотношения — следствие следующих двух соотношений:

7 - [ {/(*)} ^ ^ - 7 ^F(u)du,

0 ( 0 )

jW>}^

(0 )

В соотношениях инвариантности указан оператор D обобщенного дифференцирования. Выясним, в каких случа ях можно снять это ограничение.

Пусть о. о. / является обычной функцией, причем сущест вуют конечные пределы F(0), F'(0),..., (0), тогда, домножая равенство (11) на tn и учитывая равенство (13), за ключаем, что в рассматриваемом случае

Ат

tmDmf

Аналогичное положение наблюдается и во втором случае. Действительно, обозначим функцию tm f(t) через ср(£), тогда ввиду (1 .8) находим, что функция <р(?) вместе со своими

производными до (т—1 ) — порядка			включительно имеет
обобщенные	значения в точке	£ = + 0,	равные 0 (здесь на
кладывается	дополнительное	условие	lirnzm+1 .F(m) (z) = 0).
			z-*0