Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
Последнее соотношение определяет несобственный интеграл от о. о. Это определение является распространением на про странство о. о. Э-определения суммируемости по Эйлеру рас ходящихся интегралов [107]. Из (1) следует, что несобствен ный интеграл существует не для каждого о. о.
В тех случаях, когда предел limzF(z) не существует или
2 -*-+со
равен оо, будем говорить, что соответствующий несобствен ный интеграл от о. о. расходится.
Примеры:
00
1 ) |
J |
cos tzdt ==Ит ■1+гН, |
= |
о, |
|
|
О |
г"*+ “ |
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
• 2) |
f sin t-.dt = lim |
1+ iW |
= |
— . |
|
’ |
J |
г-м -оо |
|
t |
|
Такие же значения припишет этим интегралам и Э-метод Эйлера [107].
Приведем одно замечание по поводу введенного опреде
ления несобственного |
интеграла от о. о. По определению |
|
имеем |
|
|
до |
<- |
|
[ {/(t)}d* — |
(* {/COjdx |
lim zF{z) — zF(z). |
0 |
0 |
г^ +ю |
О. о., определяемый этим соотношением, естественно обозна-
00
чить символом \ |
{/(T)}dT-i-limzF(z)—zF(z). |
|
|
*J |
2-*-+ ев |
|
|
t |
|
|
|
Отсюда при t-*~+0 будем иметь |
|
|
|
СО |
|
|
|
f |
{f(-)}dx = lim zF(z) - |
lim zF(z). |
(3.3.2) |
J . |
z->-4-ao |
z-^-04- |
|
( + 0) |
|
|
|
Ясно, что введенный таким образом несобственный интеграл от о. о. может не существовать или существовать и быть отличным от величины ранее введенного несобственного интеграла (1 ).
72
00 00
Например, |
j* &(t)dt = l, тогда как j* |
8(t)dt = 0. |
|
||||
Другой |
|
О |
|
|
(0) |
|
|
пример. |
Ниже будет показана справедливость |
||||||
операционного |
соотношения: |
|
|
Поэтому, сог |
|||
ласно правилам затухания и |
интегрирования о. о., |
имеем |
|||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
fe - { 4 - } dt -ь In jqr^. |
С. |
|
|||
Отсюда, с |
|
0 |
стороны, |
при |
?->-)- oo(z->—|-оо) |
имеем |
|
одной |
|||||||
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
т {1/т}<2т= —С. |
|
|
||
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
С другой стороны, из | е~' | ~ | |
dt |
1п |
при £->-0{г->-0) по |
||||
лучаем J е т| т |<2т=-(-оо.
( + 0)
Покажем, что на расходящиеся интегралы от о. о. мож но распространить также принципы суммирования расходя щихся интегралов в смысле Чезаро и Гельдера [107].
Согласно определению (С, тг)-суммируемости (по Чезаро), имеем:
(С, п) |
Г a(t)dt = |
|
lim х~п j |
(х — t)na(t)dt = А < оо. |
(3.3.3) |
|
|
J |
Ж-^+00 |
•] |
|
|
|
Применяя соотношение инвариантности (2.18) к |
соответст- |
|||||
t |
1 |
|
г |
|
|
|
вию J~ j”{/(и)} dv j*F(u) du, |
|
|||||
0 |
0 |
|
(0) |
|
|
|
находим |
|
|
|
|
|
|
t |
|
T |
J{f(v)}dv |
z |
|
|
t~n j* (i — т)" |
|
z~n j* F(u) (z —- u)ndu. |
(3.3.4) |
|||
0 |
|
0 |
|
( 0) |
|
|
r
Отсюда при t-*--l-oo и z->+oo в соответствии с определения-
73
ми (С, га)-суммируемости и обобщенного значения о. о. име ем
00 |
Т |
|
00 |
|
|
|
(С, re) J Щ- J{/Xu)}du = |
(С, га) j* F(u)du. |
(3.3.5) |
||||
О |
0 |
|
(0) |
|
|
|
Таким образом получено обобщение (С, га)-суммируемо- |
||||||
сти несобственных В-интегралов. |
т = 1 к |
соответствию |
||||
Применяя равенство (2.15) |
при |
|||||
ф-т-Ф(г), полагая в |
(4) /(и) = D„{(p(u)}, |
Р(«) = |
иФ(и) |
и учи- |
||
|
|
|
|
г |
|
|
тывая при этом очевидное равенство ~ |
|* П1){ф(у)}^и = {ф(т)}, |
|||||
t |
|
г |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
получаем ( - j (t - |
'Г |
г- 1 (г-п )" 1 |
[»Ф (<*)№. |
|||
о |
|
(0) |
|
|
|
|
Переходя здесь к пределу при |
?->-+оо, |
z-> + oo в силу (3), |
||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
00 |
|
|
|
|
(С, га)j |
{?(т)}Л = (с, |
га) j £[иф(и)]йи. |
(3.3.6) |
|||
(0) |
|
(0) |
|
|
|
|
Последнее равенство обобщает понятие (С, «^суммируе мости на класс о. о.
Рассмотрим теперь (Я , «^суммируемость интегралов (по Гельдеру). Суммируемость по Гельдеру определяется следую
щим образом [107]: |
|
|
х |
X |
|
А(х)=Н®Кх) = ±-§ a(t)dt, |
Я<п>(*) = | - | l F n~V(t)dt. |
(3.3.7) |
0 |
О |
|
(га = 1 , 2 , . . . ) |
|
|
Если Н^п)(х)^-А при ж->-оо, то говорят, что |
|
|
|
00 |
|
А(х)-+А (Я, га) или |
j* a{t)dt — А (Я, га). |
(3.3.8) |
|
0 |
|
74
Сравнивая (2.18) и первое из равенств (7), будем иметь
я |
(0) № ] ■ |
Применяя |
последовательно это правило, получим |
Я <»> [{/(?)}] -=-Я<»> [F(2)].
Переходя в последнем соотношении к пределу при 7->+°о, г-*- + оо, получим обобщение (Я , л)-суммируемости на класс о. о.:
00 00
(Я, n )j |
{f(t))dt = {H, п) J F(u)du. |
(3.3.9) |
О |
(0) |
|
Замечание. Аналогично, исходя из понятия (С, п)- и (Я, л)-сходимости последовательностей, можно обобщить поня тие обобщенного значения о. о. в точках 7->-+ 0 и 7-»-+°°.
п. |
2. |
Обобщенный интеграл Лапласа — Карсона. Опи |
раясь |
на |
введенное понятие несобственного интеграла от |
о. о., можно показать, что между изображением и отвечаю щим ему о. о. существует связь, устанавливаемая обобщен ным аналогом интегрального преобразования Лапласа — Карсона в смысле введенного выше понятия несобственно го интеграла.
По правилу затухания при любом X имеем
1 |
F |
М |
(3.3.10) |
|
Проинтегрируем о. о. е~Хг {/(0} по t в пределах от 0 до оо, тогда, согласно определению § 4 главы 2, будем иметь
00 |
|
J |
{f(t)} dt = lim Г & F ( b fc ) = 4 - F ( - r ) ’ (3.3.11) |
0 |
Z'>+* |
причем это равенство справедливо для всех X, для которых Х~1 принадлежит области аналитичности изображения F(z). Заменяя в (11) Я-1 на г, получим
00 |
|
|
F(z) = 4* j |
/z {/(0} dt. |
(3.3.12) |
О |
|
|
Итак, в смысле определения § 4 главы 2 любое изображе ние может быть представлено обобщенным интегралом Лап ласа — Карсона (12).
75
п. 3. Связь обобщенных рядов Лагерра с классическими рядами Лагерра. Покажем, что в смысле приведенного вы ше определения (1 ) несобственных интегралов коэффициен ты обобщенных рядов Лагерра могут быть представлены в
классической форме. |
|
оо |
|
|
|
|
||
СО |
|
|
|
|
|
|
||
Пусть f = 2 |
anL n (t/a) |
2 |
TiT (2 —cf.)n=F(z). |
|
||||
71=0 |
|
|
77=0 |
|
|
|
|
|
Справедлива формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
y F ^ ( z ) = 2 |
< - l )n~h |
|
k'.zh\ |
z4-.z\k F(z). |
(3.3.13) |
|||
|
fc=0 |
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечая, что оператору |
z j ^ z |
в пространстве о. о. отве |
||||||
чает операция умножения на t, |
и используя (1 2 ), |
формулу |
||||||
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
(13) представим в виде |
Z n |
|
|
I f |
|
2 L n(t j z ) {/(£)} dt. |
||
F in^(z) — — J |
|
|||||||
Полагая здесь 2 = а, получим |
|
|
О |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
ап = ~1й |
F^(a) = |
~ |
f e-v* L n {tjz) {f(t)dt. |
|||||
0
Последнее означает, что коэффициент ап обобщенного ряда Лагерра сохраняет классическую форму коэффициентов Фурье — Лагерра, где несобственный интеграл от о. о. по нимается в смысле (1 ).
* * *
Известны фундаментальные работы по обоснованию и построению операторного исчисления: В. А. Диткина [39], Я. Минусинского [76], Г. Деча [141] и В. А. Диткина и А. П. Прудникова [46].
В. А. Диткин [39] дал детальное и стройное изложение операцион ного исчисления и обратил внимание на необходимость обоснования опе рационного исчисления исходя из понятия оператора.
Работа [76] Я. Минусинского явилась радикальным возвратом на высокой степени абстракции к операторной точке зрения. В ней дано глубокое и изящное обоснование операционного исчисления.
В. А. Диткиным [41, 42] и Бергом [121] изучена и раскрыта струк тура поля операторов Микусинского [76]. Введено также понятие обоб щенного преобразования Лапласа и доказано, что интеграл Лапласа яв ляется естественным средством представления операторов, преобразуе мых по Лапласу [41].
Операторы Микусинского рассматривались также Эрдеий [146], а Фойас показал [151], что для всякого оператора существует последова тельность непрерывных на (0, оо) функций, сходящихся к нему в прост ранстве Микусинского.
76