Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 0
цией, то операция сдвига обобщается на пространство о. о. Соответствующий о. о. будем обозначать в форме о. о., сдви нутого на т по аргументу (тем самым задается некая адди тивная операция относительно символического аргумента о. о.):
{f{t - x )} + F{z)e~^. |
(3.2.19) |
Будем говорить, что о. о. / удовлетворяет А-ограничению, если его изображение F(z) удовлетворяет условию для
V т > 0 И т е~г;гF(г) = 0 . z-*-+ 0
Покажем, что для произвольного о. о. /, удовлетворяю щего A-ограничению, справедливо свойство
{/(f)} = 0 |
для t |
< 0. |
(3.2.20) |
Действительно, при любом т > 0 |
справедливо |
(19). Вы |
|
числим обобщенное значение о. о. {/(f—т)} в точке f = + 0 . |
|||
Учитывая, что f удовлетворяет A-ограничению, |
получаем |
||
для у т > 0 |
|
|
|
{Д -^)}= Ц т {f(t - |
*)} = И т е~т г F(z) = 0. |
|
|
|
г-*-0+ |
|
|
Если в классическом операционном исчислении свойство (20 ) обеспечивается специальной оговоркой, что все функ ции-оригиналы домножены на единственную функцию Хе висайда, то в пространстве о. о. оно обеспечивается выполне нием требований А-ограничения.
A-ограничению удовлетворяют, например, изображения F(z), имеющие в окрестности нуля полюс произвольного по рядка, в частности, и любые изображения классического пространства изображений.
Приведем несколько примеров.
П р и м е р 1. Ранее рассматривалось операционное соот ношение {l(f)}4-l и было показано, что {1(t)}= 1. Поскольку
изображение о. |
о. |
{1(f)} удовлетворяет A-ограничению, то |
{l(t)} = 0 для f < 0 . |
Следовательно, единственным представи |
|
телем о. о. {1(f)} является функция Хевисайда |
||
|
|
(1 , t > 0, |
|
W 0 I - ч ( 0 - {„_ ( < 0 |
|
В частности, теорема сдвига дает vj(f—т)-г-е—'/z(t> 0). |
||
П р и м е р 2. |
Ранее рассматривалось операционное соот |
|
ношение 6(f)-:— |
причем символом 6(f) был обозначен о. о., |
|
аа
отвечающий изображению 1/z. Покажем, что б(£). обладаем всеми свойствами функции Дирака.
Действительно, так как изображение 1/z удовлетворяет
A-ограничению, то |
6(?) = 0 для |
0. |
Кроме того, td(t)-i- |
|
|
0, т. е. ?б(?)= 0 . Отсюда естественно считать, что |
|||
6(0 = 0 для t > 0. |
|
|
|
|
Далее, |
имеем |
6(t—т)-2- —- |
е~т/г |
и, следовательно, |
t |
|
|
|
|
Je( | — |
Но |
е~х/г -f-fj(t—т), поэтому |
||
0 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
J* 6(g—T)dg= 7](J—т).
0
Замечание. Аналогичным приемом легко убедиться, что
t
&(")(0 = 0 для 0 и что j*8(п>(|—T)d| = 6(n—х) —т).
0
Приведенные примеры указывают на существенность в рамках рассматриваемой теории понятия А-ограничения.
п. 7. Теорема подобия. О. о., отвечающий изображению F{Xz), где X — произвольное число (вообще говоря, комп лексное), будем обозначать символом
{/•(U)} + F{lz). |
(3.2.21) |
При таком определении о. о. от аргумента Xt сохраняют ся многие правила анализа, обусловленные заданным кон кретным видом аргумента.
Приведем примеры.
1. В{/(М)}-т- ~F(Xz) = XF'(Xz). Но, согласно правилу подо
бия, Р ' ( Х г ) + ^ И {f{Xt)}.
Следовательно,
- к xt 4 » 1«Х!» = т -Ж ' 7 , <«»)), |
<3-2.22) |
что согласуется с обычными правилами В-дифференцирова- ния.
2. Имеем Dt {f{Xt)}+ F (Xz) = X ± F(Xz)
и ввиду (21) -j j F(\z)-*- Da{f(u)}
69
т . е . U t{f(Xt)} = XDa{f(u)}\u=u , (3 .2 .2 3 )
что вновь согласуется |
с |
правилом дифференцирования |
||||||
сложной функции. |
|
|
|
|
|
|
качестве |
|
3. О. о. {f(Xt)} аналитичен по параметру X. В |
||||||||
примера разложим о. о. |
{/(Xt)} в ряд Тейлора |
по степеням |
||||||
|
09 |
|
|
|
|
|
|
|
(А,—1). Имеем F(kz)= 2 |
znF ^(z) (-~,1)П. |
|
|
|
|
|||
|
77=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда в силу соотношения (14) получим |
|
|
|
|
||||
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
№ ) } = 2 |
ST ° п { т ^<*■~ |
1)П- |
|
(3-2-24) |
|||
|
71=0 |
|
|
|
|
|
|
|
4. Имеем |
{/(17)}+ |
|
F(kz) = zF' (Хг) = |
|
(Az)F'(Xz). |
|||
Следовательно, применяя (14) при лг= 1, получим |
{f(Xf)}= |
|||||||
= tZ>a{/(n)} u=xf. |
правилу |
|
интегрирования |
(1.1), |
находим |
|||
5. Согласно |
|
|||||||
t |
|
|
|
|
|
и |
|
|
J № )} d x + zF(lz) = |
4* Ш(Хг) |
^ |
J {/(’)}*• |
|||||
о |
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
t |
|
|
At |
|
|
|
|
Следовательно, |
j* {f(Xx)}dx = ~ |
j* {f(x)\dx, |
|
|
|
|
||
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
т. е. возможна замена переменных типа |
Хх— х |
под знаком |
||||||
интеграла от о. о. |
|
[77]. Если {/(М)} = {/(£)}, |
хотя бы |
|||||
6. Лемма (Железного) |
||||||||
при одном А, = А о^1 , то {/(?)}=const.
Действительно, рассматриваемое равенство означало бы, что F(Az) = F(z). Так как F(Xz) аналитична по параметру X,
то |
а |
F{Xz) jх=х0 = 0 или zF'(Xqz) = 0 при любом z из конечной |
плоскости, что возможно при условии F'(z) = 0. Отсюда
F(z)=const, т. е. {/(£)}=const.
Замечание. Следует отметить, что лемма Железного в
классе |
обобщенных функций, |
рассматриваемых в |
книге |
[77], доказана при более жестких условиях. |
тогда |
||
7. |
Пусть существует предел |
limF(Az)=F(A, • 0+), |
|
|
|
О |
|
|
F ( k z ) - F ( l - 0 + ) |
х F(A z)-F (A -0+) |
|
z |
Xz |
Отсюда в тех случаях, |
когда |
F(K • 0 + )= F (+ 0) |
(например, |
||||
когда X> 0, имеем |
|
+ JL {/(А?)}, т. е. j f |
{f ( Щ = |
||||
= ’'! ; № ) ! 1- « - |
|
|
|
|
|
|
|
В тех же случаях, когда F(X ■0 + )=t^F( + 0), имеем |
|
||||||
х F(kz)-F(X, 0 + ) = |
^ F ( k z ) - F ( 0) |
, F(0)--F(X .Q+) |
|||||
t . e. |
Xz |
k |
Xz |
' |
z |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-ft |
= * i r W»)} M |
+ W F ( 0 ) - |
F(X*0-r)]. |
||||
8. |
Согласно правилу интегрирования по параметру, име |
||||||
ем |
|
|
|
|
|
|
|
X, |
Хх |
|
^1 |
|
|
^0 |
|
jV(X*)}dX-bj F(kz)dX |
7 |
jF(X2)d(X2) _ i j F ( X 2)d(X2) |
|||||
^0 |
^0 |
|
о |
|
|
о |
|
или |
|
h |
^Qt |
f {/(Xf)|dX = 7 J |
J*№}<*<■. |
о |
о |
Последнюю формулу естественно кратко записывать в виде
|
1 |
Ajfc |
|
j {f(U)}dX |
f |
j |
x. |
*0 |
|
X0f |
|
§ 3. Обобщенный интеграл Лапласа — Карсона и связь обобщенных рядов Лагерра с классическими рядами Лагерра
п. 1 . Определение несобственных интегралов от о. о. и некоторые следствия. Введем теперь понятие несобственно го определенного интеграла от произвольного о. о. Согласно определениям § 4 главы 2 и ввиду (1.1), в предположении, что существует предел limzF(z), имеем
2-*--boo
t |
00 |
|
|
lim f {/(x)}dt =Г{/Xx)}dt = |
lim zF(z). |
(3.3.1) |
|
У |
v |
2 -* - 4- 00 |
|
71