Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 97
Скачиваний: 0
После работ Л. Шварца [202] и И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [31] появился ряд исследований [74, 75, 152, 167, 172, 173], в которых для обобщения преобразования Лапласа использована теория обобщен ных функций.
Л. Шварц [201—203] применил теорию обобщенных функций к обоб щению операционного исчисления, причем у него оригиналами служат
распределения из , изображения которых таковы, что они мажориру
ются многочленами при р— »—Ь°°. Эти его представления в дальнейшем развиты Лавуном [172, 173], который за оригиналы также принимал
распределения из D + . В частности, он доказал, что функции с неинте-
грируемыми степенными особенностями являются оригиналами в постро енном им операционном исчислении.
В работе [204] также рассмотрена теория операционного исчисле ния с точки зрения распределений Шварца.
То обстоятельство, что более общие распределения, чем распределе ния из D +, могут быть включены в пространство оригиналов, было дока
зано Ишихаром [167]. В своих более ранних работах [165, 166] он рас сматривал интегралы Лапласа как частные случаи некоторых расходя щихся интегралов, трактуемых как функционалы. Позже Ишихара [168] применил метод суммирования Чезаро fe-ro порядка для получения бо лее общего преобразования Лапласа. Обозначив через L °° (F) и L (F )
изображение в смысле работ [165, 166], он доказывает следующую тео рему. Если £ “ (F) сходится в области R e£> B , то в ней же обобщенное изображение Лапласа L(F) совпадает с L°° (F) и является аналитическим продолжением обобщенного изображения Лапласа.
Р. М. Малаховская [74, 75] показала, что обобщенные функции мо гут служить основой для построения операционного исчисления.
Себаштьян-и-Силви [205] к обобщению преобразования Лапласа при менил теорию аналитических функционалов [148]. Обобщение этих ре зультатов на случаи я-переменных дано Сильвейром [209, 210].
Позже Гош, используя идею Гельфанда—Шилова по определению трансформанты Фурье для быстрорастущих функций, указал, что для
о> 0 функция ехр (ах2) имеет трансформанту Лапласа [152]. Купером
[137]найдены различные условия, которым должна удовлетворять голо морфная в правой полуплоскости функция, чтобы она служила трансфор мантой Лапласа некоторого распределения.
Элементы теории операционного исчисления, изложенные в данной
книге, впервые были описаны В. М. Амербаевым в работе [9].
Глубокий анализ истории развития идей операционного исчисления дан в монографии И. 3. Штокало [112], богатой нестандартными приме рами приложения операционных методов.
Г л а в а 4
ВКЛЮЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ
СНЕИНТЕГРИРУЕМЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
ВПРОСТРАНСТВО ОБОБЩЕННЫХ ОРИГИНАЛОВ
Описанные в предыдущей главе операционные соотно шения являются расширением действия правил операцион ного исчисления на пространство о. о. Другой важной зада чей рассматриваемой теории является изучение состава пространства о. о., т. е. вопроса о том, какие типы функций содержатся в качестве элементов в пространстве о. о. Суще ственной особенностью для данной теории является факт, что любой о. о. вводится и его свойства изучаются «опосред ствованно» — через производящее его изображение F(z) и его свойства. Таким образом, аппарат теории аналитических функций становится основополагающим аппаратом для изучения свойств о. о. и состава пространства о. о.
Можно указать несколько приемов изучения состава пространства о. о.
Первый из них основан на принципе изоморфного вло жения в пространство о. о. Так, используя метод В. А. Диткина обобщения преобразования Лапласа [41], позволяю щий установить изоморфизм пространства Минусинского с определенным классом аналитических функций (образую щих поле), можно показать, что пространство Минусинского изоморфно вкладывается в пространство о. о.
Этот прием носит экзистенциональный характер и имеет чисто теоретическое значение. На практике наибольший интерес представляют конструктивные приемы, которые по мимо установления факта, что изучаемая функция или класс функций принадлежит пространству о. о., конструи руют изображения этих функций. К числу таких приемов, в частности, относятся различные процедуры по параметру над параметрическими операционными соотношениями. Одна из таких процедур, а именно регуляризация расходя щихся интегралов, основанная на принципе аналитического
78
продолжения по параметру, описывается в настоящей главе. Здесь доказывается, что пространство о. о. включает в себя
функции типа: t~4nkt, t4nkt (п, k — целые числа, Я —
комплексное число), (?—а)_п1п*(£—а)?](7—a), |7—a | -nln* 11 —
— a\rj(t) и т. д.
Одновременно построены изображения для указанных оригиналов. При этом методы, изложенные в предыдущей главе, позволяют обобщить некоторые результаты работ [126, 129, 173, 192, 218], а также сформулировать ряд не тривиальных правил оперирования над упомянутыми выше
обобщенными оригиналами. |
t > 0 представителем |
|||
Так, о. о. {t~n}, |
являющийся при |
|||
степенной |
функции |
t~ n (п — целое, положительное число) |
||
в пространстве о. о., обладает следующими свойствами: |
||||
где D — оператор обобщенного дифференцирования; |
||||
9) |
( |
1 ] = JL |
f_L\ 4- lna5(n_11(0 |
|
} |
\(^)n J |
1 tre J |
|
|
(a — комплексное число, отличное от 0). |
||||
|
|
§ 1. Функции типа t~nIn* t |
||
Рассмотрим вопрос о включении в |
пространство о. о. |
|||
функций с неинтегрируемой степенной особенностью в на чале координат. Метод включения основан на регуляриза ции несобственных интегралов по Адамару [158].
Включение в пространство о. о. функций вида2 t~nln*f (fe = 0, 1 , 2 , . . . ; ra = l, 2 ,...) осуществляется последователь ным применением правила деления о. о. на t. Согласно это му правилу, имеем
4. |
I f |
dii |
— |
+ |
(4.1.1) |
|
(0) |
|
в предположении, что интеграл
|
z |
du |
|
|
С |
(4.1.2) |
|
|
J |
F(u)— |
|
|
(0) |
|
|
2 |
Здесь, если не оговорено противное, |
будем считать, что k=0, 1, |
|
2,...; п— 1, |
2,... . |
|
|
79
понимается, вообще говоря, в некотором регуляризованном смысле. Выясним смысл регуляризации расходящегося ин теграла (2 ).
Для ReX >—1 справедливо £х-гГ(Х-|-1),гх. Отсюда, поль зуясь аналитическим продолжением по параметру к, полу чим
{*х}-Г(Х + 1 )2х, ( Х ф - 1 , - 2 , . . . ) . |
(4.1.3) |
О. о. {£х} аналитичен по параметру к в области аналитич ности функции Г(Я+ 1)дх и, как будет показано ниже, в точках к ——1, —2,... имеет простые полосы. Дифференци руя, в частности, п раз соотношение (3) по к, получим
{tx} = ({txlnnf} гх2 ( * |
(к 4-1) lnkz. (4.1.4) |
Отсюда при к = 0 имеем
In"*-*- 2 ( * ) г(Пг_*)(1 ) 1п*г. |
(4.1.5) |
Правило деления на t применительно к операционному соотношению (4) (при к ф —1, —2,...) приводит к необхо димости регуляризации интеграла
Z
j* ux—1dn (при ReX<0). |
(4.1.6) |
(0) |
|
Поскольку классы первообразных функций для |
функции |
2 х -1 существенно |
различаются в зависимости от значений |
|||
параметра к, то |
будем |
различать случаи к ф 0 |
и Х = 0 . |
|
Рассмотрим случай |
к ф 0. |
Регуляризованное |
значение |
|
рассматриваемого |
интеграла |
ищется в классе |
функций |
|
где т — произвольная константа. Для определения
константы т воспользуемся следующим требованием: спра ведливо следующее правило деления о. о. ( к ф —1 ,
—2 ,...) на t :
- L {**} = |
(4.1.7) |
Для того чтобы выполнялось это свойство и учитывалось операционное правило деления на t, заключаем, что кон станту т необходимо положить равной 0.
80
Таким образом, при %Ф0, —1, —2,... |
|
|
|
|||
j* и1- |
1 du = |
-j- г 1 . |
|
|
(4.1.8) |
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
o(t) |
1 |
С du __ |
1 |
но |
1 |
|
Следствие 1. Имеем ~ -s - “ |
J |
— |
^г, |
8 (t), |
||
т. е. |
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т = — b'(t). |
|
|
(4.1.9) |
|||
t |
|
|
|
|
|
|
Справедливость (9) можно проверить следующей проце дурой (не связанной с понятием регуляризованного инте
грала): |
—tb' (t)-s- — 2— z -^г = |
-i- -г- S(t), т. е. — tb'(t)=b(t). |
|||
Замечание. Тем же методом легко убедиться в справед |
|||||
ливости |
|
|
|
|
|
6Ш(£) |
0, |
0 < ^ < |
— п — 1, |
п — —1, —2, ... |
(4.1.10) |
|
|
|
|
|
|
tn |
ОН-я)! ^lk+n)(t), |
(во всех других случаях п — целое |
|||
|
|||||
число, |
k = 0, |
1 , 2 ,...). |
|
|
|
Следствие 2. Продифференцируем п раз равенство (8) |
|||||
по X: |
|
|
|
|
|
~ |
|
П |
|
|
|
) iix-1lnn udu = 2х 2 |
(— |
[ k ) ln*2 - |
. (4.1.11) |
||
(0) |
|
ft=0 |
|
|
|
Положим, здесь X = — m + 1, что приводит к регуляризации интегралов вида
г
1 |
Г п \ ( n — k)l 1пкг |
т > 2 . (4.1.12) |
2 m - t 2 d |
[ к 1 ( т — 1)п-* + 1 |
|
А=0 |
|
|
Таким образом, в рассмотренных случаях (8) и (11) за регуляризованное значение соответствующих несобственных интегралов принимаются первообразные этих интегралов, аддитивная постоянная которых полагается равной 0.
Рассмотрим теперь случай %= 0. Справедливо разложение
6 - 5 |
81 |