Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 85
Скачиваний: 0
Сравнивая приближенную формулу (9) с точной формулой (5), заключаем, что погрешность Й(7) формулы трапеции
7+i<* |
|
|
2 Д7+1т ^ |
|
2nk |
|
Ш I |
ePtF(p)dp — -у- |
|
||||
Т + |
* Т “ + 2(0 |
|||||
Y—1с |
|
|
к——со |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
имеет вид |
2(1) = |
— 2 |
/(t + |
kl). |
|
|
Поскольку |/(1)| |
к=1 |
|
|
|
|
|
(у>уо), то |
|
|
||||
|
|
| 2(0 | < |
Ме**- |
е—1(т—То) |
|
(5.6.10) |
Неравенство (10) оценивает величину погрешности фор мулы трапеции в зависимости от выбора параметра I, т. е. в зависимости от выбора шага h = 2л/7 формулы трапеции.
§ 7. «Смешанные» производящие функции
Из вышеизложенного со всей ясностью вытекает, что многочлены Лагерра играют особую роль в операционном исчислении и они могут с успехом применяться в самых различных целях. Ниже будет показано, что многочлены Лагерра наиболее удобны при выводе так называемых «смешанных» производящих функций.
Вначале вкратце покажем вывод формулы для одной «смешанной» производящей функции, остальные приведем без выкладок.
Используя производящую функцию [21, 93]
* |
-L |
2 |
P n(x)hn = ( l - 2 x h + h2) з , | * | < 1 |
для многочленов Лежандра Р„(л;), находим равенство
оо |
3 |
2 (2га + 1)hnPn (ж) = (1 - Л2) (1 - 2xh + k2)T .
п—0
Отсюда с помощью замены й = о>(1—р)/р, где р — операци онная переменная, получаем:
V I |
/1—р \ п |
р[(1—ма)рг+2о)р—0)8] |
(5.7.1) |
^ ( 2 г а + |
1)а> ^ р J — |
lip2_ 2ta{x+ti3)p+u>^ i z . |
в—0
130
Выше и в дальнейшем в этом параграфе использовано обозначение
£ = £(л;, со)= 1 -j- 2ясо + со2. |
(5.7.2) |
Применяя к равенству (1) обратное преобразование Лап ласа по р, находим «смешанную» производящую функцию для многочленов Лежандра и Лагерра:
00 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
(2п + l)u>nLn(t) Рп (х) = -г? - ei {[1 — со2 -f 2со (tx + |
||||||||||
л-0 |
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
(5.7.3) |
|
|
+ 2 b V 1—x2)]Jо(о)— 28(1 - со2) } |
(8), |
||||||||
|
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 = |
7(t, л, со)= М*.+-т).; |
Ь= |
S(t, х, со) = |
* . (5.7.4) |
|||||||
Аналогично |
для |
многочленов |
Гегенбауэра P„(v+i/z) и |
||||||||
обобщенных многочленов Лагерра имеем: |
|
|
|
||||||||
" |
|
|
|
|
|
|
2vr(o+l) el J v(5) |
|
|||
2 r(A+2v+l) P(b+ll?)(x )H p (t)= |
jv + l/2 5vr(2v+1) =(М*. X , со). |
||||||||||
ft=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.7.5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда, |
в частности при v = 0, получаем формулу для мно |
||||||||||
гочленов Лежандра и Лагерра: |
|
|
|
|
|
||||||
|
00 |
соkPk(x)Lk(t) = |
1 |
elJ о(&) — М*, х, со). |
(5.7.6) |
||||||
|
2 |
y f |
|||||||||
|
ft—о |
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
Ниже в целях краткости принята условная запись типа |
|||||||||||
|
|
|
^ - |
А ^ |
а |
+ |
Аг ап Р „ |
cos |
|
||
|
|
|
тс |
|
\cos |
|
|
|
|||
которую |
надо |
трактовать |
как |
объединение двух |
формул |
||||||
cps = |
A (since -{- AtsinP), |
<ре = |
A (cosa + |
AiCosP). |
|
||||||
Для многочленов Лагерра и синусов (косинусов) имеем
2 «>*£*(t)sin |
kQ = (t, 0, со), |
(5.7.7) |
|
*—о |
cos |
|
|
131'
(t, е, |
со) = |
eTe[rtn §8 + |
0)sin (8e - 0)1 , |
(5.7.8) |
||
|
|
*“9 |
[COS |
cos |
J |
|
где $e = £(cos0, w), |
т е = |
y(£, |
cos0 , w), |
89 = |
8(t, cos0, |
«). |
Для многочленов Чебышева первого и второго типов:
2 шкТк(х) Lk (f) = |
et[«j(l — *2)sin8 + (1 + лгсо) cos8], (5.7.9) |
fc=0 |
|
Разложения (3)—(10) могут рассматриваться как «сме шанные» производящие функции для многочленов Лагерра. Они позволяют установить интегральные представления многочленов Лагерра, Гегенбауэра, Лежандра, а также ко синусов и синусов.
Действительно, умножая обе части разложения (5) на (1—a:2'v.p^+i/2) интегрируя полученное равенство по х
в пределах от —1 до 1 и учитывая ортогональность многочленрв Гегенбауэра, имеем:
1
-1
(5.7.11)
/ |
(2 у + 1 ) „ Г ( у + 1 ) |
<»nL l* 4 t) |
( л - И + 1 /2 ) Г ( ^ + 1 /2 ) |
r ( n + 2 v + l ) * |
|
Таким же образом из разложения (5) находим:
00
о
В частности, при v = 0 соответственно получим:
1
- 1
132
00
J e~*Ut, x,u>)Ln(t)dt = co"P„ (л:), |
(5.7.14) |
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
где фо(?» x, со) определяется из равенства (6). |
|
|
|||||
Аналогично из разложения (7) имеем: |
|
|
|||||
|
7Z |
|
|
|
|
|
|
v - P - \ r e(t,9, со) ” ” пШ9 = |
\ <оnL n(f), |
(5.7.15) |
|||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
j |
ср* (t, 0, ш) Ln (t) dt = |
со" ®o” п0. |
|
(5.7.16) |
|||
О |
|
|
|
|
|
|
|
Наибольший интерес имеют интегральные представле |
|||||||
ния: |
|
|
|
|
|
|
|
Ь [ W r S ) |
ш |
т р ■ ы |
d x - |
S T ! е~ ’,! |
(f)- |
(5 -7Л 7> |
|
JJ 0( | Y |
|
(f)df = |
«0"/2(1+*) Pn(*), |
(5.7.18) |
|||
|
|
- -i-) |
• sin nQdQ = |
Tie~ti2 L n(t), |
|||
|
|
|
* J |
COS |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5.7.19) |
|
|
•e-«2L n(t)dt = 2 sinra0, (5.7.20) |
|||||
|
|
|
|
|
|
cos |
|
которые являются частными случаями (13)—(16) при со = 1. Соотношения (17) и (18) примут более изящный вид, если положить в них a;= cos0:
1Z |
|
J Jo |
tg -f-) P n (COS0) sin -f -d0 = z ir i e~m Ln{t)' (5-7-21) |
133
00 |
|
|
|
J |
|
e - ^ L „ (O ^ = 2 co s-|-^(co s0 ). |
(5.7.22) |
0 |
' |
' |
|
Полагая в (17) £ = 0 и делая замену х —— и в полученном равенстве, имеем
1
^ P n(u)du |
2/2 |
(5.7.23) |
|
2 л +1 » |
что совпадает с формулой (10.10.49) работы [21]. Вышеприведенные интегральные соотношения являются
дуальными, что позволяет их использовать для решения интегральных уравнений 1 рода со специальными ядрами. Например, пара соотношений (21) и (22) дает возможность утверждать, что формальным решением интегрального урав нения
f «Л> ( y tg -§-) / (6)sin y |
dQ = Ш |
(5-7.24) |
||
b |
' |
|
|
|
является функция |
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
А в ) = 2 2- ¥ - 1сл ( |
со80)’ |
<5-7-25> |
||
где сп — лагерровский |
спектр |
известной функции е(/2ф(1), |
||
а также, что формальным решением уравнения |
|
|||
00 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
(5.7.26) |
служит функция |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ф (f) = |
е-*/» 2 |
ТГ £»(*), |
(5-7-27) |
|
|
< 71=0 |
|
|
|
где ап — коэффициенты |
разложения |
известной |
функции |
|
£ |
|
|
|
|
sec-к- - /(0) по многочленам Лежандра P n(cos0).
А
134
§8. Улучшение сходимости рядов Лагерра
Вэтом разделе изучается вопрос об улучшении сходи мости рядов вида
= |
P(k) |
, |
|
|
(s.8.d |
|
|
|
|
|
|
||
k=0 |
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
в» = 2 |
а ( 4 |
)*% *(*), |
(5.8.2) |
|||
ъ= о |
v |
' |
|
|
|
|
где L%[t) есть многочлены Лагерра |
с положительными сво- |
|||||
|
2 |
1 k \ |
(—ty |
_ |
и Q(k) явля |
|
|
[ . |
J |
~ц~ |
и Р(к) |
||
ются произвольными взаимно простыми многочленами от к, причем Q(k) не имеет целых положительных корней, а степень многочлена Р(к) ниже степени многочлена Q(k); далее функция а(и) аналитична в окрестности и = 0 и а(0) = 0.
Следуя общей идее А. Н. Крылова [59] об улучшении сходимости рядов, необходимо из рассматриваемых рядов выделить слабо сходящиеся составляющие и просуммиро вать их независимо от оставшихся сумм. Как показал Г. С. Салехов [91, 92], эти слабо сходящиеся ряды удобно суммировать, выделяя из дроби P(k)/Q(k) составляющие ви-
да(Н-1)в^ = 1’
Им же разработан алгоритм этого процесса. Следовательно, функции, улучшающие сходимость рядов (1) и (2), могут быть представлены разложением
00 |
^ |
2 |
( F ХКF I j s |
и наша задача состоит в том, чтобы найти аналитический
вид функции ts (х, t).
Интегрируя повторно s раз по х известное разложение
00 |
x ^ ( t ) = i — |
_ f X |
|
|
2 |
|
|
||
k=0 |
|
|
|
|
получаем |
оо |
|
|
|
|
|
tz |
||
|
1 |
|
||
(Я> t) |
( £1z-^' |
Z ie 1~xdT. |
||
(e-l)f* О |
||||
|
|
|
135