Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Так как

136

1/1—X

Далее, интегрируя но частям, имеем:

1 / 1 - х

Таким образом построены функции (4) и (5), улучшаю­ щие сходимость рядов (1) и (2).

Для иллюстрации воспользуемся примером, аналогич­ ным приведенному в работе [91] :

Улучшающие функции £г (1, t), (г= 1, 2, 3) вычисляются по формуле (5), используя их, окончательно имеем:

_ V _______10-Mt)_______

^ (л + 1 ) ( л + 2) (л +3) (л2+ 1 ) ’

71 = 1

где полученный ряд имеет лучшую сходимость, чем первоначальный ряд.

137

* * *

Задача о построении решения интегрального уравнения

о

ставилась задолго до того, как возникла теория операционного исчисле­ ния. К ранним работам этого направления следует отнести работу Мор­ ф и 5, в которой обосновывается возможность построения решения уравнения (1) в виде ряда по многочленам Лагерра.

Последующие исследования уравнения (1) (до сороковых годов) сти­ мулировались главным образом развитием теории ортогональных рядов, постановкой и решением задач проблемы моментов, изучением свойств аналитических функций класса Нг и их обобщением. Теория операцион­ ного исчисления, возникнув как часть прикладных наук, в пятидесятых годах приобрела формы самостоятельной математической дисциплины, имеющей широкий диапазон приложений.

Расцвет операционного исчисления совпал с бурным развитием вы­ числительной техники и ее внедрением в научно-технические расчеты.

В связи с этим вновь возродился интерес к решению уравнения (1), но уже в рамках разработки вычислительных (приближенных) методов.

Исследования, посвященные проблеме численного обращения, можно условно разбить на четыре взаимосвязанных направления.

Первое направление характеризуется конструированием различных б-образных последовательностей, приспособленных к решению проблемы восстановления оригинала по его изображению. Сюда следует отнести формулу обращения Поста—Уиддера [190, 223], различные обобщения которой были даны Поллардом [187, 188]; формулу обращения Вине­ ра—Шли [28], а также формулу Боас—Уиддера [125]. Кроме того, ука­ жем на работу [163], в которой формула обращения содержит функции Бесселя. Все эти формулы имеют скорее теоретический интерес и мало пригодны для практических расчетов.

Идея использования б-образных последовательностей для прибли­ женного вычисления значений оригинала использована И. И. Рябцевым [90], который сконструировал формулу обращения на базе значений изображения, исчисленных в равноотстоящих точках действительной оси. Это обстоятельство делает формулу И. И. Рябцева практически бо­ лее удобной г. сравнении с формулой Поста—Уиддера, в которой приме­ нено значение производных высшего порядка изображения, исчисленных в различных точках действительной оси. Практические приложения формул подобного типа рассмотрены в работах [156, 199]. В частности, Костом [138] они использованы для решения задач вязкоупругих сред.

Второе направление основано на сведении интегрального уравнения (1 ) к системе линейных алгебраических уравнений посредством различ­

ных квадратурных формул, а также на применении метода регуля­ ризации решения некорректных задач, предложенного А. Н. Тихоновым

[102, 103].

Последование этого плана принадлежит Нордену [179], который за­ дачу обращения связывает с решением некоторой системы алгебраиче­ ских уравнений, при этом значения изображения исчисляются им в последовательности действительных точек, образующих геометрическую прогрессию.

5 Цитируется по [118].

138

Метод регуляризации использован в работах [104, 54]. Этот подход к проблеме обращения представляется наиболее перспективным.

Большое и интересное исследование проведено Р. Веллманом с сот­ рудниками [119, 120]. Ими использованы результаты Филлипса [184], Тумея [217], а также Шанкса [206], вскрыты трудности, обусловленные некорректностью задачи численного обращения, указаны ограничения на оригиналы, обеспечивающие сходимость к точному решению приближен­ ного решения, полученного из системы алгебраических уравнений, приб­ лиженно описывающих уравнение (1 ).

Однако замена точного равенства (1) приближенной системой неточ­ ных равенств представляется нам наиболее уязвимым местом этого приема в сравнении со всеми методами остальных направлений решения проблемы численного обращения.

Третье направление связано с применением различных типов квад­ ратурных формул к интегралу Меллина—Римана, являющегося, как из­ вестно, основой аналитического аппарата обращения преобразования Лапласа.

Первыми в этом направлении были работы Солзера [194—198]. Так, автор [197] предлагает применить к интегралу Меллина — Римана квадратурную формулу наивысшей алгебраической точности в одном частном варианте весовой функции. В последующем эта идея изучалась в широком классе весовых функций [207, 117, 5, 8].

Достаточно полное и систематическое применение квадратурных формул к задаче приближенного вычисления интеграла Меллина—Рима­ на осуществлено В. И. Крыловым и Н. С. Скоблей [61—64, 95—97]. Ими разработаны таблицы [64, 96], пригодные для практических расчетов.

К. Ланцош [70] ставил вопрос о применении к интегралу Меллина— Гимана формулы трапеций.

В. М. Амербаевым [8] показано, что оценка точности формулы тра­

пеции тесно связана с формулой суммирования Пуассона для односто­ ронних интегралов Лапласа. Автором также к приближенному вычислению интеграла Меллина—Римана применены методы приближенного вычисления интегралов с быстроосциллируюгцими функциями [109], в частности, построены квадратурные формулы с чебышевскими узлами интерполирования и указаны приемы счета по этим формулам. Следует отметить, что формула суммирования Пуассона для одностороннего ин­ теграла Лапласа приводит к функциональному соотношению, которое было получено ранее [83, 84] в частном варианте и рекомендовано за­ тем для задачи численного обращения. Формула суммирования Пуассо­ на служит основой связи между г-преобразованием и преобразованием Лапласа. Отметим, что Вихом [219—221] к проблеме обращения приме­ нено г-преобразование. Им рассмотрен случай, когда изображение являет­ ся дробно-рациональной функцией.

Четвертое направление исторически возникло раньше всех осталь­ ных и связано с разработкой приемов разложения изображения на сум­ му (конечную или бесконечную) изображений, оригиналы которых вос­ станавливаются точно.

Сюда прежде всего следует отнести так называемые первую и вто­ рую теоремы разложения Хевисайда [161]. Обобщение второй теоремы разложения на класс мероморфных функций осуществлено Черчилем

[133, 134].

Практически ценным и достаточно универсальным аппаратом проб­ лемы численного обращения является теория ортогональных рядов Лагерра. Это обусловлено тем, что изображения многочленов Лагерра кон­ формным отображением расширенной комплексной плоскости на себя сводятся к степенной функции. Этот факт лежит в основе многих иссле­ дований рядов Лагерра. В частности, он использован в данной книге для

139

построения такой теории операционного исчисления, в рамках которой любая аналитическая функция может рассматриваться как функцияизображение.

Вопросы восстановления оригинала по изображению исследовались, многими авторами: например, Екартом6, Пиконе6, Трикоми [214, 215], Уиддером [224], Шохатом [208].

Практическая ценность рядов Лагерра состоит в том, что соответст­ вующая рядам Лагерра аппроксимация изображения степенным рядом может быть заменена аппроксимацией интерполяционными полиномами с узлами интерполирования, являющимися корнями IV-й степени из еди­ ницы. Достаточно полная теория аппроксимации функций, аналитиче­ ских внутри единичного круга, интерполяционными полиномами с узла­ ми, являющимися корнями N-й степени из единицы, изложена в рабо­ тах [33, 106].

Благодаря этому родству двух вариантов аппроксимации изображе­ ния появляется возможность использовать в решении задачи обращения посредством рядов Лагерра идеи и методы практического гармоническо­ го анализа. В литературе, посвященной проблеме численного обращения преобразования Лапласа,.впервые на такую возможность указал К. Лан-

цош [70].

Бутрос [127] изучил возможности применения алгоритмов конечно­ го преобразования Фурье к задаче численного обращения посредством рядов Лагерра. Он также дал анализ влияния особых точек изображения на быстроту сходимости ряда Лагерра.

Впоследствии этой же идеей воспользовался Уикс [222] с той разни­ цей, что коэффициенты лагерровского разложения исчислялись им по формулам тригонометрического интерполирования с чебышевскими узла­ ми.

Достаточно полный обзор методов этого типа можно найти в настоя­ щей книге (Lfr-алгоритмы). Следует отметить, что здесь впервые для оценки вопросов сходимости и анализа точности представления оригина­ ла посредством рядов Лагерра использована связь между «дискретными» и «интегральными» коэффициентами лагерровских разложений.

Аналогичные исследования для тригонометрической интерполяции проведены в работе [68]. Легко заметить, что замена х = е~* отображает

решает эту проблему посредством ортогональных рядов Лежандра. В ча­ стности, он же указывает на тесную связь проблемы моментов с задачей интерполирования аналитических функций дробно-рациональными функ­ циями. Эта мысль получила свое развитие в работе [162], в которой ана­ лизируются классы оригиналов, изображения которых принадлежат классу Н2.

Вычислительные аспекты этой идеи в некоторых частных вариантах (разложение оригинала в ряд по многочленам Лежандра и в синус-, ко­

синус-ряды по углам, кратным 0 /2, где sin 0 /2 = e ~ f 2 ) рассмотрены

Эрдейи [143]. Он изучал также взаимосвязь проблемы численного обра­ щения с проблемой интерполирования изображения дробно-рациональ­ ными функциями [141]. Этот подход дает возможность конструирования разнообразных формул численного обращения.

По идейному содержанию к работе [143] примыкают исследования Папулиса [183], цде описаны схемы вычислений коэффициентов разло­ жения оригинала в синус-ряд Фурье и в ряд по полиномам Лежандра,

6 Цитируется по [118].

140