Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Большие вычислительные трудности возникают, когда изображение F(p) имеет сложное поведение в окрестности бесконечно удаленной точки. (Например, бесконечно уда­ ленная точка является существенно особой точкой и даже быть может неизолированной).

Рассмотрим, как в таких случаях осуществить регуляризирующую процедуру, которая бы улучшила сходимость ряда Лагерра.

Пусть g(z) 6 Н2, и причем g{z) имеет на контуре | z | = 1

в точке z = — 1 существенно особую точку.

00

Имеем g(z)= ^ я*2*, ПРИ |z| < 1 .

k = 0

Пусть z = r егеи 0 < г < 1 , тогда ^(гег0)=рГ(0)+ ф Г(0), причем

где Ък (г) = акг*.

Отсюда искомые коэффициенты ak принимают вид аА= —jbk(r).

Коэффициенты bk(r) могут быть исчислены в соответ­ ствии с ££г-алгоритмами. Поскольку г < 1 , то множители

1 /г* с возрастанием k могут оказывать существенное влия­ ние на накапливание погрешностей округления.

В связи с этим рассмотрим предварительно вопрос о вы­ боре параметра г таким образом, чтобы избежать указан­ ного влияния на точность вычислений.

Пусть для вычисления дискретных коэффициентов Фурье

таким образом подобран параметр г, можно перейти к про­ цедурам ускорения сходимости рядов (11). С этой целью по­ строим многочлен

125

Ът (2) = (г + Г)т(«о + ®i« + • • • + amZm) +

+ (2 — r)m(Po + Pi2 + • • • + Pm2m),

вместе со своими производными до то-порядка включитель­

но в точках z = ± r , что обеспечивает для функции gm (г eih) скорость убывания коэффициентов рядов вида (1 1 ) (при изб-

ранном г) до порядка О

Если через г(5тЛ-(£) обозначить N-ую частичную сумму

Лагерра, отвечающую функции gm(z), а через — ориги­ нал, отвечающий функции Т12т (;г), то искомый оригинал бу­ дет приближенно восстанавливаться выражением Ст (?) -)-

+ tlBJV (*)•

Замечание. Приведенные алгоритмы ускорения сходимо­ сти рядов Лагерра являются аналогами улучшения сходи­ мости тригонометрических рядов, описанными в [55]. Они не зависят от того, как исчисляются коэффициенты ряда Ла­ герра (в соответствии с £?г-алгоритмами или по точным формулам (2.11)). В § 8 рассматривается еще один метод улучшения сходимости рядов Лагерра (аналог метода А. Н. Крылова [59]).

§ 5. Ш/г-алгоритмы

Возвращаясь к функции g{z) (2.6), заметим, что для вы­ числения коэффициентов ак степенного представления функ­ ции g(z) можно использовать чебышевские аппроксимации функции g(z) с узлами на действительной оси [—1 , + 1 ]. Этот подход порождает ряд алгоритмов, которые естествен­ но назвать Lth-алгоритмами.

Отметим, например, LThn — алгоритм. Функция g{z) аппроксимируется многочленом

126

где

п

мер, в [33].

Коэффициенты akn аппроксимируют коэффициенты ak

интерпретировать на языке тригонометрического интерпо­ лирования, то в случае слабой сходимости чебышевской ап­ проксимации целесообразно применять (в тех случаях, ког­ да это возможно) преобразование функции g{z) к функции

gm(z) для обеспечения ускорения сходимости.

С вычислительной точки зрения ЬТТг-алгоритмы облада­ ют преимуществом перед Lfr-алгоритмами в том смысле, что они используют значения функции g(z) в действитель­ ных узлах zk.

§ 6. Формула суммирования Пуассона и задача обращения

Рассмотрим аналог формулы суммирования Пуассона для одностороннего преобразования Лапласа. Соответствую­ щую модернизацию вывода формулы Пуассона можно полу­ чить, используя единичную функцию Хевисайда г|(£).

Пусть функция ср(7) абсолютно интегрируема на [0, оо) и

сходится равномерно.

Нетрудно убедиться, что u(t) функция периодическая с периодом I. Пусть далее Ф(р) изображение Лапласа функ­ ции <p(£)ri(f). Вычислим коэффициенты Фурье функции u,(t):

127

— 00

Таким образом, если ряд (1) сходится равномерно на [0, Z], а его сумма u{t) удовлетворяет условиям разложимо­ сти в ряд Фурье, то при O ^Z^Z имеет место равенство

Замечания 1. Из (2) следует справедливость формулы

(5.6.3)

при условии, что ряд в правой части равенства (3) сходится. Формула (3) представляет собой аналог формулы суммиро­ вания Пуассона для случая одностороннего преобразования Лапласа.

2. Полезно отметить, что ряд (1) при OsSjZs^Z представля­ ет собой решение разностного уравнения

O ^Z^Z в виде тригонометрического ряда

со

Используем формулу (2) для задачи численного восста­ новления оригинала fit), заданного изображения F(p).

Пусть уо — абсцисса абсолютной сходимости интеграла Лапласа от функции f(t).

Положим cp(Z)= e~^ f(t) (у>уо), тогда Ф (р)=Р(р+у).

Так как в этом случае |<p(Z+&Z)| —- 0(е~(т -т»)*,)»то ряд (1)

128

сходится равномерно на любом отрезке [О, Г ]. Равенство (2) соответственно принимает вид

k = -

В частности, если в разложении (6) положить t = 0, то полу­

чим так называемое z-изображение функции f(t): ^ ( 3) = 00

=^ n k ) z k. ft=0

Соответственно формула (7) связывает z-изображение функ-

00

на подинтервалы равной длины 2л/1 точками р k = y+ ik —

(fe=0, ± 1 , ± 2 , . ..) и применим к интегралу (8) формулу трапеций, тогда получим

Y+ioo