Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 0
Рассмотрим вначале вопрос об оценке приближения оригинала, получаемого .LJr-алгоритмами. Будем исходить из того, что ряд Лагерра (2.1) сходится абсолютно. Посколь ку функции Лагерра равномерно ограничены в совокупно сти |ср*(£)|==;1 (й= 0, 1 , 2 , ...), то последнее ограничение равносильно требованию
оо
|
2 |
! я* |
I < °°. |
(5.4.2) |
|
|
к=0 |
|
|
|
|
Введем обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
Rn+i (L, |
t/h) — |
^ |
ak<?k(t/h), |
|
|
|
|
k=n+l |
|
|
|
тогда из (2 ) следует |
|
|
|
|
|
max |
| Rn+1 (L,t/h) |
| < p n+i, |
(5.4.3) |
||
0<f<oo |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
и |
|
k=*n-\-l |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I fit) —ev ^ |
ak<?k(t/h) |
| <e^p„+1. |
(5.4.4) |
||
|
*=o |
|
|
|
|
Замечание. Из оценки (4) следует, что даже в случае равномерной и абсолютной сходимости ряда Лагерра оцен ку приближения функции f(t) рядом (2 .1 ) нельзя считать равномерной за счет присутствия множителя e'ff. Последнее требует известной осторожности при выборе параметра у. Во всех случаях задачи численного обращения преобразо вания Лапласа параметр у желательно выбирать ближе к абсциссе абсолютной сходимости у0 интеграла Лапласа. Вы бор больших значений параметра у, как правило, сужает интервал аппроксимации [0, Т] функции оригинала f(t). Для сравнения порядка сходимости Lfr-алгоритмов со схо димостью ряда Лагерра (2.1) оценим на максимум величину
JV—1
R n (Ltr, t/h) = e-ft f(t) — ^ aknyu (t/h). k—0
120
С этой целью воспользуемся тем, что
|
а^м = аъ -)-as+jv -)-Oaj-2jv |
|
|
|
|
N—1 |
|
Отсюда R n (L, t/h)—R N(Ltr, t/h)= |
2 bkN ?*(*/*)> |
||
|
co |
k=0 |
|
|
|
|
|
где bkN = |
Qgiy+ ft. |
|
|
|
?=*i |
|
. |
Поэтому шах|Длг(Ь, f/й)—R N(Ltr, t/h}\ ^ |
|||
0<t<oo |
|
|
|
В частности, |
|
|
|
max | |
(L/t , t/ft) | < 2( | aN 1 + |
| aN+1 |
| + . . . ) = 2 p^. |
0< f < CD |
|
|
|
(5.4.5)
Следовательно, аппроксимация L^’-алгоритмами имеет тот же порядок малости, что и аппроксимация f{t) ортогональ ным рядом Лагерра.
|
|
*JV+1 |
|
1N +2 |
|
Так как |
= | a_v | (1 + |
lN |
+ |
iN + |
), |
то при достаточно быстром убывании коэффициентов а тве личина |fitjv I может служить численной характеристикой точности рассматриваемого приближения.
Заметим, что оценка (5) может быть несколько улучше на, если коэффициент о0 вычислить точно по формуле
<7 + -is>=«(o>-
Тогда
шах | R N (Ltr, t/h) | < | aN | + 2pjv-+i.
ОСКсо
Возможность вычислить точно коэффициент о0 имеет дру гую замечательную сторону.
Так как а0п — о0 = aN + агы + . . . ,
то с точностью до порядка малости коэффициента a 2n раз ность о0л—а0 определяет величину ан. Тем самым, во-пер вых, порядок малости разности а 0л —а0 может служить вспомогательным критерием достаточности числа интерполя ционных узлов N, обеспечивающих требуемую точность, во-
вторых, появляется возможность |
пролонгировать Ч аС Т И Ч - |
ЛГ—1 |
|
ную сумму Лагерра ^ а ^ у У / Ь ) , |
добавив к нему член |
й=0 |
|
(t/h), где a'N = о0л —а0. |
|
121
В этом свете следует отметить, что затраты, связанные с точным вычислением некоторого числа первых коэффи циентов ряда (2 .1 ) по формулам
а0= £ (0), a1 = g'(0), а2 = g"(0), . . .
оправдываются повышением степени уверенности правиль ности выбора числа узлов, обеспечивающих требуемую точ ность аппроксимации оригинала, о которой можно судить по порядку малости величин
Зо = |
Яол — а0— aN “Ь &2N 4" |
+ • • • |
|
§1 = Я щ |
а 1 = a N + 1 + & 2 N + 1 + |
• • • |
|
^2 |
&2п |
^2 Q'N-\-2 “l- ^2jV-[-2 “l” • • • |
|
Кроме того, вычисленные значения о0, а ь а2, ... позволяют несколько расширить расчетный лагеррсвский спектр за счет величин о, ® ® лг+2= ^глг ^2,...
Это качество может быть использовано для контрольных вычислений. Как уже отмечалось выше, сравнение оценок
(4) и (5) показывает, что аппроксимация искомого оригина ла посредством LZr-алгоритмов имеет тот же порядок мало сти, что и аппроксимация оригинала ортогональным рядом Лагерра. Следовательно, объем вычислений и точность ап проксимации существенно определяется скоростью убыва ния спектра Лагерра (т. е. скоростью затухания спектра Ла герра). Анализ скорости убывания коэффициентов ряда Лагерра в зависимости от дифференциальных свойств ори гинала выходит за рамки данной книги. Эти вопросы осве щаются в работе [93]. Вместе с тем то, что искомые коэф фициенты а* ряда (2 .1 ) являются коэффициентами тригоно метрических рядов функций р(0 ) и р(0 ):
р(0) = а0-f- a^os© + |
a2cos20 |
(5.4.6) |
р.(0) = axsin0 -f- o |
2sin20 + . . . , |
(5.4.7) |
указывает на возможность использования методов ускоре ния сходимости посредством выделения особенностей, прак тикуемого в гармоническом анализе.
Так, в предположении, что изображение F(p) не имеет особых точек в полуплоскости И е р ^ у за исключением быть может бесконечно удаленной точки, вопрос об улучшении сходимости ряда (2 .1 ) сводится к улучшению сходимости рядов (6) или (7) средствами гармонического анализа путем
122
учета поведения функций ц(0 ) и р(0 ) на границе интервала
Os^ 0 sCt.
Рассмотрим в общих чертах процедуру улучшения схо димости. Ограничимся классом изображений, для которых справедливы предельные теоремы:
lim pF (р) = f 0,
p - ^ - r ос
lim р (pF(p) — f 0) = f о, p-> + oo
lim p[p(pF(p) — f 0) — f ' 0l = f" o,
+ CO
Введем обозначения:
R0(P) = PF(P),
R i( P ) = p R o (P ) — fo>
R2{p ) = pRi(p) —
Rm +llp) = pRm( p ) - h m)-
Тогда
( m )
Функция
^m+l(P)/Pm+1
является изображением функции
|
// |
j?/t |
§Jt) = |
— f о if * — 2T° t2 ~ • • • ' |
|
(5.4.8)
Л*+1(Р)
(5.4.9)
f im)
i .
Посредством конформного отображения (2.5) от изобра жения (9) перейдем к функции
(г+1 )л |
(т + |
JTro(z) = ^ -( 2ft)m+1 (1 + 2йт—(1 —2ht)z)m +1 |
|
|
(5.4.10) |
^ 2ft 1 + z Г |
|
123
В предположении, что Rm+i (? + f+ i) имеет конечное
значение в точке 2 = —1 , функция gm(z) будет иметь в точке z = — 1 нуль-порядка не меньше, чем т.
Таким образом, функция gm{z) удовлетворяет условию: в точке 2 = — 1 она обращается в нуль вместе со своими производными до тп-порядка включительно.
Теперь остается преобразовать функцию gm(z) в функ
цию gm(z), такую, чтобы были выполнены условия
ё т{ (2) |z=±l = 0, ft = |
0, 1 , |
2 , . . . |
,т. |
|
С этой целью строится многочлен |
|
|
|
|
Ът (г) = (2 + 1)т О'-Jo+ |
% 2 |
+ . . . + |
'Чтгт)> |
|
такой, чтобы |
|
|
|
|
- ^ ( 2)|2=+ 1 = |
^ ) ( + |
1 ). |
|
|
Тогда искомая функция g m(z) принимает вид
ёт (2) ёт. (2) ri2m (2 ).
В соответствии с общими принципами гармонического
анализа коэффициенты ak разложения функций р(0 )=
= Reg (ег6), p(0) = lmg(ei6) в ряды типа (6) и (7) будут иметь порядок 0^ 5-) .
Обозначим через Gm(t) оригинал, отвечающий g m(z) и восстанавливаемый приближенно посредством ряда Лагерра, а через Н ?m(t) — оригинал, соответствующий многочлену ri2m(2), тогда искомая функция примет вид
f(f) — fo + fa* + f"o~2i— I- . • . + fom) + H ^Jt) -j- Gm(£).
Замечания 1. Если положить h — lliy, то выражение (10) несколько упростится.
2. Предельные соотношения (8), в частности, верны при любом тп, когда изображение F(p) аналитично в окрестно сти бесконечно удаленной точки.
124