Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 82
Скачиваний: 0
Так как
”^ ,1 |
[т, если й = О (mod т), |
|
> |
0)г*= | |
(6.1.7) |
г=о |
10, |
если й ^ О ( т о й т ), |
то равенство (6) преобразуется к виду
t ( r + l ) m — l |
п— 1 |
. . 1 — т о |
г - 0 Г[т(г+1)1 |
X" |
2 |
exp ((okxt). |
|
k=0 |
|
Выражение, стоящее в левой части этого равенства, есть функция Эт(хт , t) , поэтому окончательно имеем
у,I-
Эт (хт, t) = ■ ~ 2d со*ехр (wkxt), (6.1.8) k=0
|
|
2 % i |
|
|
где х произвольный параметр и со = ёт. |
для произвольного |
|||
Следствие 1. При я = + 1 |
получим |
|||
четного или нечетного т |
|
|
|
|
|
т—1 |
|
|
|
Эт(+1, t) = ~ |
^ |
й)*ехр (ta>k). |
(6.1.9) |
|
|
k—0 |
|
|
|
При х = —1, если т — нечетно, из |
равенства |
(8) имеем |
||
|
т —1 |
|
|
|
э т (—1, *) = -^- |
2 |
ш*ехР (—иок). |
(6.1.Ю) |
|
|
|
n i |
|
любого ш |
Следствие 2. Положим х=%—ёт, тогда для |
||||
(четного или нечетного) справедлива формула |
|
|||
|
77t—1 |
|
|
|
Это (—1, t) = — ± |
2XoJ*exp(fXo>*). |
(6.1.11) |
||
As—О
В целях дальнейшего изучения свойств функции Работнова целого индекса удобно ввести в рассмотрение функцию
то—1 |
' |
(2) = ~ 2 “^*ехр(2(В*), где СО= ей". fe—0
Функция (г) обладает следующими свойствами.
14Т
Свойство |
1. Эт фт, t) = |
|
|
|
|
||
При р= + 1 имеем Эт (1, f) = Zi(m)(0 и Р = —1 ( т — нечет |
|||||||
ное) Эл(—1, t) = h (mK— t). |
|
|
|
|
|||
Если |
|
Tzi |
любом |
т имеем |
э т (—1, f) = |
||
р==>„ = ёт, то при |
|||||||
= —W |
mHK t). |
,r„wm |
f 1, если 2V=0(mod/n), |
|
|||
_ |
.. |
_ |
|
||||
Свойство |
2. |
Z(®) (0) = |
[0, если 2V#0(modm). |
|
|||
|
|
|
N |
|
|||
Отсюда сразу следует, что |
|
|
|
||||
|
|
|
Э , ( + 1 , 0 ) - { ^ е с л и т ” 1’ |
|
|||
|
|
|
|
10, если гпф 1. |
|
||
Свойство 3. |
|
|
|
|
|
||
Справедливы следующие равенства |
|
||||||
|
1%Чг) |
7(2) / |
\ _ |
f chz, если 2V=0(mod2), |
|||
|
N |
jshz, если ZV^0(mod2), |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2iti ЛГ |
2ict |
4n i |
4tel |
|
1{$ з = -у ez-\-e 3 |
|
-f- e 3 + e 3 |
||||
или для функции Работнова целого индекса будем иметь
(ЭхЖ, t ) < = e *
19, ( - 1 |
, |
|
ГЭ2(+ 1, |
t) = s h t |
|
1Э2(—1, t) = sinf, |
||
э 3(+ 1 . 0 = |
— 4 ~ е~ Т cos( ^ r f — т ) |
|
Эз(-1,*) = 4-е~‘ + Т е1Гsin(*т *~ т)* |
||
Свойство 4. (z) = |
Z(™' (z), |
|
где r=ZV(mod/n), причем г — наименьший неотрицательный вычет числа ZV(modm). Это свойство следует непосредствен
но из равенства u>Nk=mrk, если r=2V(modwi). Из этого свойст
ва, в частности, следует, |
что Эт (1, Z)= Z(r'n) (Z), если г—1= |
sO(modm). |
Zlnm) (z). |
Свойство 5. Z(nm)((osz) = |
Действительно, с одной стороны, справедливо равенство
О) |
- m—1 |
8 |
|
Z<e">(o>sz) = |
o>(nfc+*>exp(«>ft+*z), |
иа |
А—О |
|
с другой стороны, при изменении k от 0 до т—1 последова тельность чисел S k, определяемых соотношением
S* = |
k + s (mod/n), |
— 1, |
|
|
пробегает полную |
систему |
наименьших |
неотрицательных |
|
вычетов, поэтому имеем |
|
|
|
|
т —1 |
|
т—1 |
2 |
«С* е х р (»% |
т г 2 |
|
(»•*■*)= i |
||
*=о |
|
*=о |
|
|
откуда и следует искомое равенство. |
|
|
||
Свойство 6. Производная |
s-ro порядка |
функции Z(nm) (г) |
||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
где r = n + s(modm).
Это равенство можно доказать следующим образом:
|
т —1 |
JP {1(пт) (2)} = |
2 ш(П+В)к ехр (со*г) = |
т —1
=— 2 шГ*еХР(w*2)= *rm1(2)-
т*=О
Вчастности, из этого свойства и равенств (7), (9)—(11) следует, что
d*-1 fr> . .. |
_ |
fl, если s =0(modm) |
|
dt*~1 |
m ’ |
*“‘° |
|о, если s #0(modm) |
и, наконец, для любого целого |
О |
||
dt*ds—1-1 {Эт ( - 1 , |
f))t-o = |
|
если s = 0 (modm), k — ■— |
|
если s^O(modTn). |
||
|
|
|
|
Свойство 7. Повторный интеграл s-ro порядка функции l^-) (xz) вычисляется по формуле
1 |
t |
т —A-f m r |
|
[ (t — r)s- 4 (nm>(xz)dx |
|||
( s - l ) ! |
г= 0 Г [ т —А + т я г] |
||
|
О |
149
где k = n —s(modrei)
и
15—1
т—1, если т — k > Р
V
S—1 '
т, если т — k < р ,
где р — наименьший неотрицательный вычет числа s—1 (mod/re), а квадратные скобки означают целую часть числа, заключенного в скобки.
Последовательным интегрированием по частям можно
получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
_1_ |
|
|
^ у , |
[ (f — "0s-1 exp (леевгт) d". |
exp(x&4) — |
|||||
X s u> ls |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
в—l |
(xt)r |
|
|||
|
|
- 2 |
У |
|
|||
|
|
r\ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
откуда следует, |
что |
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
j ( f — x ) s _ 1 ^ m ) ( * x ) d z = |
|
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
m—1 |
|
|
|
|
||
2 |
w(n-g)r exp |
(<arxt) |
|
|
|||
mxs |
|
|
|||||
r-0 |
|
|
|
r = 0 |
/ = 0 |
||
Пусть k — наименьший неотрицательный вычет числа
(re—s)(modm). Тогда сравнение re—s + r=0(modrez) будет иметь место лишь для чисел г вида г = т — k + mp.
Границы изменения р определяются из неравенства
m —k |
S — 1 -j— — — s |
т |
1 т |
Из этого неравенства следует, что если т—й>р, то р долж
но изменяться в пределах pjjp] —1, если же
т—fe^p, то р изменяется в пределах О ^ р ^ Г у —^1.
150