Файл: Амербаев, В. М. Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.10.2024

Просмотров: 80

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Следствием формулы для повторного интеграла s-ro по­ рядка ф у н к ц и и (xz) при s = l служит следующее соотно­

шение

t

j* ^nm)(x) dt = Z(fcm)(t) — em, 0

где

In — 1, если n ф 0 \m — 1, если n = 0,

fO, если n =f=1

£m \l, если n = 1.

Замечание. Казалось бы, что обобщением функции 1(™Н2) может служить формула

т —1

'

lpmg(2)= ~t- 2 Шр еХР К 2)»

 

 

г= 0

 

так как

V™) (г) =

(г).

 

Покажем, что в действительности функция указанного

типа выражается через функцию

(z). Для простоты огра­

ничимся случаем, когда т — простое число.

Пусть prs=Sr(piodm),

= fe(modm).

Тогда функцию

(2) можно представить в виде

 

1м w=

7»—1

 

2 ю*гехр (°)Sr 2)-

 

 

Г=Л

Поскольку при этом последовательность чисел Sr образует полную систему наименьших неотрицательных вычетов, то

имеем

= l{™\z), что и требовалось доказать.

Свойство 8. Совершенно ясно, что функции Эт (1, Z) и

Эт (—1,

Z), выражающиеся посредством формул (9)—(11)

через элементарные, являются действительными.

Приведем основные соотношения, доказательство кото­ рых не представляет особых трудностей.

Случай функции Эт (1, t):

151

а) т — четное

 

 

 

 

т —2

л 2*г

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

*

fees—

 

 

Э»^* = i

(е* ~ е

г) +

 

- k 2

е

“ cos

+

fsin ^ ) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.1.12)

б) т — нечетное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

771— 1

tA A » 2яГ

 

 

 

 

 

 

“9

 

 

 

 

 

э,(1,0—i-«' + v

2 «

 

+

 

<в-1-18)

 

 

Г=1

 

 

 

 

 

Случай функции Эт ( —1, t):

 

 

 

 

а) пг — четное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т—2

,_(2г+1).

 

 

 

 

 

~2~

2г+1

. . .

2 r + l l ;

э„( -1 ,0 =--|-2

 

fcos-

 

 

 

COS

 

 

mJ

 

 

 

 

 

ir---—+ tsiTW —— ’

 

 

г= 0

 

 

 

 

 

(6.1.14)

 

 

 

 

 

 

 

 

б) m — нечетное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

771—

1

2 r+ l

 

 

 

 

 

 

O-----1 ,

 

 

 

 

 

 

^

feos-------я

cosL?£±1 - f tsimr

771

6 f

то771

^Г«=С

 

 

L

to

TO J

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(6.1.15)

Свойство 9. В дальнейшем понадобится также знание действительных значений функций-^-Эт (1, ?) и ~ ^ Э т(—1,0* Легко показать справедливость следующих соотношений.

Случай функции - ~ Э т (1, t): а) т — четное

 

 

771— 2

2ът

 

 

 

 

2_ icos

,

. 2яг\

 

 

■(е* + ег*) + 2 V* е

,4яг

dt

0 :

m COS1—

+

fsin — I

 

 

 

771 / ’

(6.1.16)

б) тп— нечетное

152

m—1

 

n

 

2nr

 

 

 

 

.JL fcos

 

 

 

“ э .(1 ,г )= 4 - ^ '

!

У *

cosi ^

+ ^ i n 2^

Ь б Л .17)

dt

+4m-r2= l

 

 

 

 

Случай функции -^-Эт (—1, г):

 

 

 

а) т — четное

 

 

 

 

 

 

 

т —2

 

 

 

 

 

2

.__ 2т-+1

 

 

 

1 - э . ( - 1 , в = - 4 2

бfcos*

771 cos 1

_(_fsintt

m y

 

L

m '

 

 

г=0

 

 

 

 

(6.1.18)

 

 

 

 

 

 

б) т — нечетное

dt ( 1» ^):

771— 1

 

 

 

 

2

^

 

2 r+ l

 

g~f ___2

 

fcos-------i

 

 

e

m cos

ТИ 1

7» - 4771 2

 

r= 0

(6.1.19)

+ fs im t^ iJ l.

77» J

Эти и другие свойства функции Работнова целого ин­ декса можно получить, исходя из тесной связи рассматри­ ваемой функции с так называемыми гиперболическими и тригонометрическими функциями высших порядков, изу­ ченных в работах ряда авторов (см. библиографию работы

[22]).

§ 2. Замкнутая форма функции Работнова с рациональным индексом

Подставим в выражения (1.3), (1.4) и (1.5) значения функций Эт (±1, t), определяемых равенствами (1.9) и (1.10).

В частности, при подстановке соотношения (1.9) в (1.3) бу­

дем иметь

 

 

 

h+1

 

 

П—1

t

 

 

 

71

 

 

 

771

 

 

э „ ( 1 ,* ) = 4 - 2

 

 

+

71

 

fc=0 г К - 4

1]

71— 1

t

* -1

—1

771— 1

 

 

71

 

2

0,ГехР(o>ri)dx.

 

 

 

 

 

о

г=0

 

163

После упрощения эту формулу можно представить в виде

 

71— 1

ro (ft + 1)

 

п

Эm(1) t) =

t

t

Т +

n

fc-0

( * + 1)

n—1 m—1 г (j m(fc+l) \

(6.2.1)

( m ( k + 1)

1 v V “

n '

+ го M M) Г та(А+1 ) 1

 

n

\

 

Совершенно аналогично из равенств (1.4) и (1.11) для случая р= —1 и четного п (тп— любое целое число) имеем

 

П—1

m(ft+l)

 

 

"

 

 

—1)*t

+

 

гГт('А-Ы) ]

 

 

п

 

п—1 та—1

r(!

 

(6.2.2)

 

 

 

+ i r 2 2

(“ D* “ r|m(*+ljT ехр(шгО T

0>rt) .

k=0 r=0

1 -----1 -----

'

>

 

n

 

 

Более сложной будет формула для случая, когда Р= —1

ип — нечетное число (тп— любое целое число). Из выражений (1.5) и (1.10) следует, что

 

 

m(fc-i-l)

1

V

(-D*t п

Эта ( 1* *)= t

2 d

гГта(£+1)1 +

m(ft+1) ,

L п J0

Нетрудно показать, что это соотношение можно преобра­ зовать к виду

_1_ п—1

m(k-f-1)

 

(-1)*г п

(6.2.3)

Эта(—1» t) = t 2 d

г, |[m(k+l)(*+l j1 +

ft-0

 

 

154

л—1 те—1

<-D*

(»r>.)

m(k+1)

n

 

exp

 

г 1 *

J

 

?re(fe+l)

 

 

 

Как показывают формулы (1)—(3), всякую функцию Ра-

ботнова с рациональным индексом а = —можно представить в виде двух слагаемых, из которых первое является выде­

ленной особенностью в точке £ = 0, а

второе — линейной

комбинацией неполных гамма-функций

с аргументом, из­

меняющимся в комплексной области.

 

Для получения формул, более удобных при вычислении значений функции Работнова на интервале 0 < ^ t ^ T , посту­ пим следующим образом. Проинтегрируем один раз по ча­ стям интегралы в равенствах (1.3), (1.4), (1.5) и воспользу­

емся тем, что Эт (± 1, 0) = 0, если т ф 1 ,

и свойством 6, тогда

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

m(k +1)

 

 

 

Л — 1

t

п

 

 

t ) =

yV

+

Э т (1,

t

2 d

v

 

 

 

 

 

[ ~ T

 

'J—1

J

 

p

m { k + l )

 

+ ^ 7 w

+1)+ l l ]

 

"

9,m(l, i:)dx,

L— ^—

J°

 

 

 

для четного n :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(fe+1)

 

 

 

1

(—l)*f

n

Э rn ( — 1 , 4 = — 2 d r Гт ( Ь + Щ +

»

 

 

 

Г[ ~ Г " J

 

 

 

t,

TJt(k-bl)

(—D*

 

r*

 

J (f

~)

n

Э,пг (1, t)dt,

+2 рГпг(й+1) +1

kz=a

n

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

для нечетного n :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m(k+1)

Эm (

1» t)

 

 

 

 

 

155

Смотрите также файлы