Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf

Гл а в а V.

МАТРИЧНАЯ ФОРМА МЕТОДОВ УТОЧНЕННЫХ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ |И УТОЧНЕННОГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА

Выше (1.126), (3.74) —(3.76) приведены разрешающие урав­ нения методов уточненных конечных разностей и уточненного ко­ нечного элемента. Уравнения записаны для прямоугольных и » квадратных сеток изотропной пластины. Однако нередко возни­ кает необходимость в применении прямоугольных или параллелограммных сеток. К сожалению, записать простые уравне­

ния для прямоугольных сеток, а тем более для анизотропных пластин не удается. Вместе с тем применение указанных мето­ дов к расчету косоугольных анизотропных пластин представляет значительный интерес. В связи с этим покажем матричную фор­ му получения исходных уравнений методов конечного элемента и уточненных конечных разностей [39, 43].

§1. Матрицы преобразований и дифференцирование полиномов

вматричной форме.

Основные дифференциальные соотношения.

Рассмотрим некоторые положения, позволяющие выполнять различные преобразования с одномерными матрицами.

Положение 1. Если матрица А размером_т X 1 содержит

кроме нулей некоторые элементы из матриц С размером дХ1 ■иля их сумму и не содержит других элементов, то А может быть

получена из С умножением на нее слева некоторой матрицы

преобразований П размером г п Х п- Элементами такой матрицы Являются нули и единицы.

Учитывая размеры А и С, легко установить, что

(mX 1) = ( mXn) X( nX 1)

я, следовательно, размер матрицы П_равен mXn.

Определим вид элементов матрицы П. Пусть элементами матри­ цы А и С являются ai и Cj соответственно, а элементами матри­

150

Допустим, что

Эк — ср; at — cf + cz -+ cs; ар — 0 и т. д.

Как известно, любой элемент при перемножении матрицы определяется так:

m

ai = 2 bij Х CJ- 1=1

Очевидно, что при i = k, если ак = ср,

Если i = t, то

«, наконец, при i = е

Таким образом могут быть получены все элементы матрицы

Транспонируем матрицы В и D и применим к ним положе­ ние 1:

B T = n , X D T.

Транспонируя это произведение, находим:

151

Полагая П = П]", придем к преобразованию (5.1). Координаты матрицы преобразования 'строк определяются соответствующими

номерами элементов из D и В. При этом элемент из D опреде­ ляет строку, а элемент из В — столбец.

2. Если матрицы А и С содержат одни и те же значащие элементы, но имеют за счет нулевых элементов разные разме­ ры, то

Поскольку матрицы А и С удовлетворяют условию положе­ ния 1, то можно записать:

Поскольку b может быть нулем или единицей, то из послед-

них равенств видно, что адрес единичного элемента из П2 полу­ чается транспонированием адреса соответствующего элемента

из Пь а следовательно

Положение 2. Имеется совокупность матриц Аь А2, . . . Ап. Каждая матрица не содержит элементов, принадлежащих дру­ гой матрице из этой же совокупности (исключая нулевые эле­

менты), но элементы всех матриц Ai содержатся в некоторой матрице С, тогда

Действительно, представим С в виде суммы матриц

152

Каждая из матриц Q ( i= 1, 2 ,__ п) имеет размер матри­ цы С и содержит в качестве элементов только .нули и элементы

из соответствующей А| . Очевидно, что матрицы Cj и Aj удов­ летворяют условиям следствия 2 положения 1.

Отсюда -следует:

Подставляя это выражение в (5.10), получим равенство (5.9). Таким образом, положение -доказано.

Определим правило построения -матриц -П из (5.9). В силу следствия -2 имеем

из С обращением в нуль элементов, отличных от элементов Д. Учитывая это обстоятельство и исходя из положения -1, приходим к выводу:

Отсюда -следует, что для построения матриц из (5.9) необхо­

димо выразить -матрицы Ai через С, -построив -матрицы преобра­ зования по правилам, вытекающим из положения 1, а затем их транспонировать.

Получим некоторые формулы дифференцирования полинома, записанного в ма.трич-ной форме.

Пусть имеем полином f

153

Запишем его в матричной форме:

а —■матрица-столбец коэффициентов полинома,

а = [ацп-ц].

Найдем k-ю производную от w:

Здесь n и i изменяются в соответствии с их расположением в матрице Н,

0 i <] и n — i < к — j. 1

Перепишем (5.17) в виде

- ^ - V = H i x V

dxi dyk

Предположим, что полином (5.16) является неполным. То­ гда, находя различные к-е производные, каждый раз будем по­

лучать матрицы Hie, отличающиеся друг от друга не только ко­ эффициентами, но и координатными функциями. Выберем для

всех производных некоторую координатную^ матрицу L, содер­

матрицу Н* , размер которой совпадает с L и координатные

154

•функции '-расположены так_же, как в L. Если в Нк отсутствует

какая-нибудь функция из L, то в Нк она должна быть записана с_нулевым коэффициентом. Из приведенного выше видно, что

Нк и Нк соответствуют условиям положения 1 и можно запи­ сать

Итак, при дифференцировании неполного полинома получаем полином, степень которого на к ниже. В этом случае в матри­ цу L будут входить все степени функций х и у, наивысшая из которых будет (р —к ):

где Pj,k-j —диагональная матрица коэффициентов дифференци­ рования.

Таким образом, окончательно получим:

Дифференциальное уравнение анизотропной пластинки в ко­ соугольной системе координат (рис. 20) имеет вид [43]:

155

Здесь

h =

a h — h m ’

где l j , —l x размер сторон пластины по осям х и у 'соответственно;

п, m — число делений их на целое числ^ отрез­ ков;

R и- — жесткости ани­ зотропной 'пластины в ко­ соугольной системе коор­ динат, которые -следую­ щим образом выражают­ ся через жесткости в пря­ моугольной системе коор­ динат:

Ri1= Di 1sin4 ф —■4D[6 sin3 ф cos <p-f- 2D33 sin2 ф cos2 ф —

— 4D26 sin <p -cos3 ф -j- D22cos4 ф;

Ris = Dj6 sin3 ф — D33 sin2 фcos ф + D26 sin ф cos2 ф —

R2 2 : D2 2 .

J

156

упругого потенциала пластинки но отношению к системе коорди­ нат [43], кроме того, их можно получить при замене производ­ ных по аргументу «у».

§ 2. Матричная форма метода уточненных конечных элементов

Запишем уравнения (5.23) в матричной форме:

Запишем выражение для интегральных силовых факторов анизотропной пластинки в матричной форме [43]:

157“