Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 63
Скачиваний: 0
Здесь: |
|
|
|
|
|
|
, Ri |
= ( « 4Rii a2 R12 |
2a3R16) |
|
|||
R2 = (a2 R12 |
R22 |
2<xR26) |
(5.28) |
|||
R3 = |
(asRls aR26 |
2a3R66) |
|
|||
|
w |
— |
a3 w |
|
i = 2, |
1, 0. |
|
as1di]2 |
' |
||||
|
|
|
|
|
||
.Для поперечных сил имеем: j |
|
|||||
Qe |
|
|
X R4 X w"'; |
|
||
|
|
a3 h3 Sitl3 tp |
|
(5,29) |
||
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
||
|
Q |
n —• a4 h3 Sin3 tp |
X R6 X w" |
|||
Где |
|
|
|
|
|
|
R4— (aS\Ri6 a2 R33 |
3a R26 R22); |
|
||||
Ri = |
(a4 Rn |
3a8 R16 a2 R33 «R26); |
(5.30) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
w |
d3 w |
|
1= 3, 2, 1,0. |
|
||
as1dr,3- |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|||
Решение уравнения (5.25) примем в .виде 34-членного полипома;
|
7 |
7 |
w = |
^ |
2 а« «W — (a6i £5 + ai6о]6)- |
* |
i= 0 |
j= 0 |
О + j) < 7
Запишем (5.31) в матричной форме:
w = H X a T |
(5.31) |
где Н — координатная матрица-строка;
158
а — матрица-столбец |
коэффициентов |
полинома, |
|
||||
'Н = (&V"1) |
П = О, |
1 , 2 . . . . 7; |
i = |
7, 6, 5 ... "О; |
|||
|
а = |
[з1,п—I]• |
|
|
|
|
(5.32) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Ограничим |
действие п о |
|||
|
|
линома |
(5.31) |
участком пла |
|||
|
|
стины (рис. 21). |
|
||||
|
|
|
Рассмотрим правую часть |
||||
|
|
уравнения (5.25). Предста |
|||||
|
|
вим |
ее |
двумя |
способами. |
||
|
|
В |
пределах рассматриваемо |
||||
|
|
го участка разложим функ |
|||||
|
|
цию нагрузки в ряд Тейло |
|||||
|
|
ра по двум переменным, |
|||||
|
|
предполагая, |
что функция |
||||
|
|
допускает такое |
разложение |
||||
и члены ряда, содержащие производные выше третьего порядка, пренебрежимо малы по сравнению со старшими членами ряда:
q ( ^ ) = 2 2 Ai i ^ |
(i + j ) < 3 . |
(5.33) |
i=0j=0 |
|
|
В случае,, когда такое разложение затруднительно, аппрокси
мируем нагрузку полиномом: |
|
q(£, г]) = Аоо-)-Аю^-f-Aoip-)-A20I2 + Аогр2. |
(5.34) |
Alk — коэффициенты полинома (5.34) найдем из условия совпа дения значений функции нагрузки и значений полинома в узлах О, 3, 8, 6 и 7 или 0, a, d, с, b (см. рис. 21).
Выражение (5.33) и (5.34) запишем в матричной форме:
‘я ^ 'П Х А - |
(5.35) |
Здесь Li — координатная матрица;
А —матрица коэффициентов полиномов (5.33) и (5.34),
15»
Li = (;' rik-1); к = 0, 1,2, 3;
(5.36)
A = [Alik_,]; i = к; к - 1,. - .0.
Матрицу А запишем так:
A = TXQ,
где Q для |
случая |
(5.33) |
имеет вид: |
|
|
|||
Q = |
Г |
dk q |
|
“1 |
k = |
1, 2, 3; |
|
|
Чо " |
. |
£=7j=0 |
|
|
||||
|
|
d;1д |
|
I = |
к, к— 1,... ,0 ; |
|||
Т — матрица коэффициентов ряда Тейлора, |
' |
|||||||
|
|
Т = 1 1 1 1 — 1 —— - _ L _ L _ L |
. * |
|||||
|
|
|
|
2 |
2 6 |
2 2 6 _1 |
|
|
для случая |
|
(5.34) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q = |
(Я о 4^7 qe qs], |
|
|||
,Т показано в табл. 4, |
|
|
|
|
|
|||
или |
|
Q = [q0 qa qb qc Qd] |
|
|
||||
значения Т берутся в соответствии е табл. 5. |
|
|||||||
|
Таблица 4 |
|
|
|
Таблица 5 |
|||
(5.37)
(5.38)
(5.39)
(5.40)
(5.4О
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
— 1 |
0 |
i |
0 |
0 |
— 1 |
0 |
|
1 |
0 |
0 |
О — 1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
— 1 |
|
0 |
1 |
|
— 1 |
0,5 |
0 |
0,5 |
0 |
—4 |
2 |
0 |
|
2 |
0 |
0 |
О |
0 . |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
— 1 |
0 |
,0,5 |
0 |
0,5 |
— 4 |
0 |
2 |
|
0 |
2 |
0 |
0 |
, 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 . |
0 |
0 |
|
* |
Здесь и |
далее |
квадратными |
скобками |
обозначена |
матрица-столбец, |
||||
а угловыми — диагональная |
матрица. |
|
|
|
|
|
|
|||
160
Очевидно, что долинам (5.31) удовлетворяет уравнению (5.23) при правой части (5.35).
Найдем матрицу а.
Подставим (5.31) в уравнение (5.25), учитывая (5^22) при к = 4; j = 4, 3, 2, 1, 0. Очевидно, в этом случае L = Li. После умножения матрицы R «а wIV получим:
Ь ,Х (а 4НпХР4оП4о+4а 3К16ХРз1Х'Из1+2а2ЯззХР22Х'П22+
-(-4aR26XPi3Xni3-j-R22XPo4Xno4)X а = |
|
|
— LiX T X Q X (ak sin ф)4, |
(5.42) |
|
или |
|
(5.43) |
■ Lj X й~Х а = Li X Т X Qi* |
||
Учитывая равенство (матриц, имеем окончательно: |
|
|
r x a “= T X Q i. |
* |
(5.44) |
Размер матрицы и составляет 10Х’34. Уравнение |
(5.44) ис |
|
пользуем при определении элементов матрицы а. Для их одно значности дополним систему (5.44) 24 уравнениями, которые за пишем из условия совпадения значений полинома (5.31) и его первых производных с действительными прогибами и углами по ворота вдоль осей координат в узлах по контуру элемента (см.
рис. 21).
Примем первые производные от (5.31) в соответствии с (5.17). Очевидно, что при к = 0, j == 1 получим выражение для угловповорота элемента вдоль оси £, а при к = 1, j = 0 —* вдоль оси ц.
Принимая для первого случая матрицу; Нц , а для второго —
Hi.,, имеем:
= <?х X h = |
х а; |
_Л — = <рУX ah - н;чх а.
Запишем (5.31) и (5.45)" для узлов (14-8)
найдем перемещения в центре элемента:
i
(5.45)
(см. рис. 21) и''
w, — Нк X а;
9 ^ |
X а; |
(5.46) |
161
Здесь верхний индекс у координатных матриц обозначает, что эти матрицы записаны для конкретных узлов.
Объединяя (5.44) и (5.46), получим окончательную систему 34 уравнений, из которых определим элементы матрицы а:
D X а — F, |
(5.47) |
где D и F — блочные матрицы-столбцы,
D = [Hk |
й]; |
(5.48)
F = [w, <р[ ©/iTxQi];
Здесь
W1 = |
К |
w2 w3 |
we]; |
|
- |
[?S |
f i ?l |
«pH; |
(5.49) |
9 ? |
= [<P? |
9 } |
9 l \ - |
|
Разрешая (5.47) относительно а, найдем
"a = D -'X F , |
(5.50) |
записывая (5.31) и (5.45) для точки g= rj = 0, получим:
аоо = w0; а)0 = ®о = fjh; a o t =9о = 9o a h . (5.51)
Но аоо. аю и aoi являются элементами матрицы а. Обозначая
матрицу из этих трех элементов через ai и учитывая вид а (5.32), определим по положению 1;
|
Hi = |
fTi X а'=гГ1X D -1X F f. |
(5 .5 2 ) |
|
С учетом (5.51) имеем: |
|
|
||
' |
а! = |
К ?| |
= ПГО-1 F,. |
. '(5.53) |
Очевидно, что система уравнений (5.53) устанавливает одно значную связь (между значениями функции прогибов и ее произ водных в .начале координат со значениями ее в узла.у на конту
162