Файл: Музыченко, Ю. Н. Расчет пластинчато-стержневых систем.pdf

Скачать файл (5,02Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 59

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В заключение заметим, что изложенный алгоритм легко про граммируется, при этом все основные матрицы получаются в машине.

§ 3. Матричная форма метода						уточненных конечных разностей
Дифференциальное уравнение (5.23)- запишем в матричной
форме:
R7 X « 1	X w 'v Ь Rs X я? X ti X w '/ = 'q,							(5.65)
где		R ?=		(Rn R2 2 ).
		Rs =		(Ri6 R33 R2 6 ) •
at	=	г а41л ;			a2 =		r a3 a2 aa ;	(5.66)
			tl =		r 4	2	4 ,;
	q	=	q(l,7j)a4			h4 sin4 <p.
Решение уравнения			(5.65)		примем в виде 43-членного поли
нома:
8	8

w = V	^ а,^1^		— ?Tj(a71 ?6 4- а17 r f ) .
i=0	j=0
Перепишем (5.67) в матричной форме:
w = (1Hi H2 H3)X [aoaia2 а3].
Здесь
	Н7 =	(Е1);	Н2 = h 1);
	а7 —	[^ioji	—[a0i] 1

H3 = (£' ц а ~ ' ) \

а3 — [ai (п—1)J -

Значения п и i для Нз и а3 приводятся в табл. 7.

(5.67)

(5.68)

(5.69)

169

Таблица 7

п	8	7	6	5	7	6	5	3	2	4
i	6,5,2	5,4,3,2	4,3,2	3,2	6,1	5,1	4,1	2; 1	1	2; 3,1

Рассмотрим некоторый участок пластины, на который нане сена сетка (рис. 22).

Рис. 22

Для того чтобы принятая функция (5.67) удовлетворяла уравнению (5.65), разложим его правую часть в ряд Тейлора в центре рассматриваемого участка (| = г |= 0 ). Предположим, что функция нагрузки такое разложение допускает и что оста точный член ряда, включающий производные функции выше четвертой, пренебрежимо мал по сравнению со старшими члена ми ряда. Таким образом,

q + ч) = V Ац S' i (i + 3)<4. (5.70)

L J 2

1=0 1=0

Разложение (5.70) в матричной форме имеет -вид:

170

q = Li X	А,	(5.71)
’Ll = («', ^n_!), n	= 0, 4, 3, 2, 1;	i

A = [А, (п_„], i= n, n — 1, . . . ,0. i

Матрицу А запишем так:

					(5.72)
здесь
dkq	X “4 h4 sin4 cp	k =	1, 2, 3, 4		(5.73)
q0dip' dr^-l	X “4 h4 sin4 cp	j =	4, 3, 2,	1, 0,	(5.73)
а элементами матрицы T размером 15X15				являются	коэффи

циенты ряда Тейлора. Ненулевые элементы матрицы Т представ лены в табл. 8.

														Т а б л и ц а 8
1! j	1: 1 14:2 15:3 И :				4	12:5 13:6 7:7			8:8	9:9	10:10 2 : 11 3:12 4:13 5:14					6:15
T.j	1	1	1	1		1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
T.j	1	1	1	2		1	2	6	2	2	6	24	6	4	6	24

Если нагрузка не может быть разложена в ряд или такое разложение громоздко, аппроксимируем ее полиномом:

4	4
q & Ч) = £	S АЧ6' ^	1	^ + ai3 f ) (1 + J) < 4.(574)
i=0	j=0

Такая аппроксимация была уже использована при рассмотре нии применения этого метода к расчету изотропных пластин, где

и определены коэффициенты Ац .	_
Полином (5.74) можно представить в виде	(5.71), если в А
положить А13 = А31= 0.
Запишем А в форме (5.72), при этом

171

		Q = [ф Ч2Чз —				qi3]X a4h4 sin4 ф,								(S.7S)
а элементы матрицы T размером								15X	13 приведены в табл.						9.
												Т а б л и ц а			9
1	0	0	0	0	0		0	0		0	0	0	0		0
1/4	- 1 /6	0	- 1 /6	0	0		0	0		0	1/24	0	1/24		0
0	0	0	0	0	0		0	0		0	0	0	0		0
1	- 1 /2	-1 /2	1/2	-1 /2	1/4		1/4	1/4		1/4	0	0	0		0
0	0	0	0	0	0		0	0		0	0	0	0		0
1/4	0	-1 /6	0	-1 /6	0		0	0		0	0	1/24	0		1/24
0	1/6	0	-1 /6	0	0		a	0		0	—1/12	0	1/12		0
0	0	-1 /2	0	1/2	- 1 /4		1/4	+ 1/4	-	1/4	0	0	0		0
0	1/2	0	-1 /2	0	-1 /4	-	1/4	1/4		1/4	0	0	0		0
0	0	-1 /6	0	1/6	0		0	0		0	0	1/12	0	- -1/12
—5/4	2/3	0	2/3	0	0		0	0		0	—1/24	0	—1/24		0
0	0	0	0	0	1/4	-	1/4	1/4	-	1/4	0	0	0		0
—5/4	0	2/3	0	2/3	0		0	0		0	0	-1/24	0	- -1/24
0	—2/3	0	2/3	0	0		0	0		0	1/12	0	-1/12		0
0	0	2/3	0	—2/3	0		0	0		0	0	-1/12	0		1/12

Определим элементы матриц ао, ai и а2. Записав полином

(5.68) для точки 1 (см. рис. 22)		£ =	т]=0,	получим
	а0 =	W[.
Полином (5.68) для точек по оси \|(т] =				0)	имеет вид
w = Н! X аТ -Ь а^;						(5.76)
запишем (5.76) для узлов по оси \|			(см. рис.		22)
wk =	[ Щ Х а ,	+	Е? X	щ	;	(5.77)
здесь
w £ = { W 2 W 4	W 10 W 12 W22 W2 4 W26			W28].		(5.78)

172

Из (5.77) имеем:
а, =		[И*]-’ X ( -		Е? Е) X	w5k]*.	(5.79);
аналогично!
^	=	[H fl^X C -E f Ё 8) X [w 15Г‘],				(5.80)!
где
\Vk —	[W5 W3 W ,3 W 1,			W25 W23 W29 W27].		( 5.81)
Введем полную матрицу прогибов участка
w	== [W i W2 w 3 ___ W 27W 28w 2g].					( 5.82)
Легко видеть, что [wi w£] и [wi\vk ] имеют только элементы
из w, следовательно, в силу положения 1:
		[ Wi	w sk]	= П цХ \у;		( 5.83)
		[ Wi	=	rii^X w .		( 5.83)
		[ Wi	=	rii^X w .