Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

венством (5.2.1). Теорема доказана.

на

функцию f(x) и

Наложим дополнительные

ограничения

исследуем особенности

оптимальной

процедуры

обнаружения

при этих условиях.

Если

мери

Рг

и

Р

принадлежат

С л е д с т в и е 5.2.1.

Обозначим

через Е

множество точек х ^ - 0 ,

удовлетворяю­

щих

условию

f(x)

со. На основании леммы 3.72

f ( h х)

/

r u

1

Л

z £ H : -

1

= Р

f f ( x ) d x = 0,

f

Px)

t . e.

функция

(п. B.

конечна.

Аналогичным

f [ V ( z ) ]

множества значений г,

образсм доказывается,

что Р х— мера

при которых функция

P\

У (г)=0, также равна нулю. Это вместе

с (п.

в. Р\) конечностью функции

U(z)

обеспечивает (п. в. Pi)

лютно непрерывна относительно меры Р х.

Меры Р х и Р из

Р ^

существенно

отличаются от

гауссов­

ских. Действительно, пусть

найдется такой промежуток [а, Ь\

(О < а < Ь ) , что f ( x ) =

0

при х £ [ а ,

b]

и / (л:) ф 0

при х £

£ [а, Ь].

Повторяя

только что проделанные рассуждения,

убедимся,

что отношение

правдоподобия

A (z)

в этом случае

(п. в. Я,)

конечно,

если

и только если А0 = 1,

причем

в отли­

чие от гауссовских

мер

здесь возможен

как

случай

ортого­

нальности

®

X0j , так и промежуточный случай

сингулярности ( у < Х 0< 1 ,

1 </ . 0< | ] .

§ 5.3. Операторы А и А у 1,

А у 1

Принадлежность

мер

Я,

и Я к семейству

Р/-р0 обеспечи­

о < с, <

(Аи,

и)

С-, < оэ,

(Bit,

и)

тельно определенные самосопряженные операторы Л-1

н В ~ \

обратные операторам

А

и В

соответственно;

положительные

_i_

j_

операторы

Л2

,

В 2

и

обратные им положительно определен-

ные

самосопряженные

операторы

_ 1

В

_ 1

такие,

что

Л

2

2

_ 1 _ 1

Л 2 Л

2

=

Л-1, В

2 В

~— В ~ х\

пространства

Н А и / / в

со­

стоят

из одних

и тех же элементов.

I

Оператор В

2

является

изометрическим

отображением

пространства //

,

на

И

(§

2.5).

Он

расширяется до

изоме-

трического отображения В

_

\_

Н на И в

2

пространства

(§ 2.4).

i_

При

этом

оператор В 2

, обратный

оператору

5

2, является

изометрическим

отображением

пространства

Нв на

Н и сов-

i_

падает с расширением

по непрерывности оператора В 2 с мно­

жества элементов Н на все

Нв . Как и в §

4.3,

находим,

что

оператор

В ~ у расширяется

до

изометрического

отображения

Аз

пространства А/в_i

на

Нв. Очевидно, оператор В,

обрат­

ный оператору

В

,

будет

совпадать

с расширением

по не-

непрерывности

оператора

В

с Я

на

все

Н в .

Кроме того,

i_

_ 1

j_

В 2В 2 = В ,

В

2 В 1— В ~

.

Аналогичным

образом

опреде-

_ _ I _

J_

ляются

операторы

Л

,

Л ", Л ^

,

Л.

Они

устанавливают

изометрическое

соответствие между

пространствами

Н и H At

НА и Н ,

/ /

j

и НА,

НА и Н л_х.

Неравенства

\ \ A u-f =(\ A A Ч

Л2 и < М 1

Л 2 и

=

IIЛ || (Аи, « ) < ||Л ||С2||М||2в

1

1

1

ратора

А2

с Н на Н в и оно совпадает с А 2 . Справедливы п

равенства

J-

i

А ~ 1— А

_ i

1

А2А 2 = А ,

2 А 2.

Применив теорему

2.4.1,

найдем,

что

L

_1

_j_

_ 1

В 2А хВ 2w = B 2 А В 2w

для

любого

v £ H B. Отсюда

для любого

w £ H B

A lw — B ~ 1A w .

(5.3.1)

Поменяв

в

предыдущих рассуждениях

местами

операторы А

и В ,

определим

оператор 5, — аналог оператора

А,

и

найдем,

что

B xw — А~ lBw

для

любого

w £ H a . Поскольку пространства НА и Н в состоят

из одних

и тех же элементов,

из найденных выражений, вы­

текает,

что оператор АГ1, обратный оператору А,., существует,

причем

АГ1= 5 ,

= А -15 .

(5.3.2)

Равенство

(5.3.1)

показывает,

что

область

значений

оператора

А на Нв , т. е. пространство НА~\

принадлежит

области

определения

оператора

В ~1,

совпадающей

с про­

странством

Н

Таким

образом,

Обратное

включение

вытекает из равенства

(5.3.2)

Следовательно, про­

странства

//д -l

и Нв- 1 состоят из одних

и тех же элементов,

а операторы А-1

и

В ~ 1 (по

терминологии

С.

Г. Михлина)

оказываются полусходными. Для них операторы

± _i_L _ 1

_ 1 I

_ _L L

(5.3.3)

В 2 А

2 ,

А2 В 2 ,

В

2 А 2 , А

2 В 2

ограничены и существуют такие

постоянные с[ и

с'2, что

О < с'3<

INI2

1

<

с ; < СО.

(5.3.4)

— £ —

ный ограниченный оператор Aj-1, действующий

в простран­

стве // д-1 по

формуле

(АГ’и, v)B = {u, v)A.

(5.3.5)

Установим

соответствие между операторами

АГ1 и АГ1-

(«, ъ)А_х= {А~'и, Л-1т;)л = (лИ-Ч

=

=

А ~ \ ) в = { в ~ 1и, A ~ 1B B ~ 1v )b =

= (в~1и, ЛГ'Я-1^)

'

'В

для

любых и и v из Ma_ v а

следовательно, и из Н

у С дру­

гой

стороны,

, (гг, т»)л-1 = (и. ЛГМ в- i

для

любых и итг из WB- i.

Отсюда

л г^ я л г’я-1.

Поскольку

операторы Л^"1 и _д~* ограничены каждый в своем

ш

S p [ ^ 1- X 0/] =

2 (X * -X 0),

(5.3.6)

/1=1

СО

Sp [Л, — Хо/] =

2

(х* —хо)2.

(5.3.7)

л=1

Sp [ / - Х 0ЛГТ,= 2

-

'

(5-3.8)

s P [ / - х0л г Т =

2

( ^ г 1)2 •

(5.3.9)

Из принадлежности Р, и Р к семейству

Р ^;

вытекает

ядерность оператора Лх — Х0/, а

следовательно,

и абсолютная

(5.3.8) и сходимость рядов (5.3.7)

и (5.3.9). В частности, это

обеспечивает ядерность оператора

I — Х0ЛГ'-

§ 5.4.

Функция U(z)

Пусть

— система

собственных

элементов

опера­

тора В.

Эта система

образует ортонормированный

базис в Н

и все ее

элементы принадлежат R B. Фиксировав

п,

построим

оператор

проектирования Еп в подпространство,

натянутое на

элементы

да,, . . . , w n. Пусть, далее, 7 — какой-либо

сим­

метричный оператор

в Н,

определенный

на R B.

(стр. 423 [6]), из которого

с учетом равенств (5.4.1) следует,

что

[{BTEnz,

Enz ) \ - XP{(tz) =

И

со

~ J /(х ) dx j

{Еп TEnz, z)2 P (dzjx) =

0

H

if

. '2

f (BTEnz , EnzfB^ P ( d z ) =

2 Sp (EnBTEn)2-f

H

mr

(5.4.3)