Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 72

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Д л я л ю б о й ф у н к ц и и l l ( t ) ИЗ / / _ 1

Ч*п

У 20аЛА[и Ук) — 11(4 4“ А*) ]•

Функционал F(u) принадлежит //*_,, поскольку

 

Пт С0 г. гУй,г

,

■С,

 

Е^ т

£ Н К.

 

Л—

 

°1|£л. ю|

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

z,

^ w \

 

 

 

 

 

С0I Eh wY ~

УТо^Кь f* (tk)

Z (/1* + Л/'^ ’

 

■«=i

'

Г

 

EshW

 

 

ц

ч ч /

 

2Da "У! (г (4) — г (^й + ^*)])“’ А-1

а функция V (z) является пределом в среднем 'квадратическом относительно каждой из мер Рi и Р последовательности слу­ чайных величин

 

 

П

 

2Й г

2 [2Г(^ ) _ г ( 4 + Aft)]’2

 

 

/г=1

если шах

0 при

/г->оо(§ 4.5). По-видимому, вряд ли

1<А<л

 

 

возможна реализация устройства, вычисляющего точно функ­ цию V(z). Приближенное же вычисление этой функции воз­ можно с какой угодно степенью точности.

Для завершения расчета остается теперь только восполь­ зоваться формулами (4.6.9) и (4.6.10) для вероятностей оши­ бок, соответствующих оптимальной процедуре проверки гипо­ тез.

Г л а в а 5

ОБНАРУЖЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

ИРАЗЛИЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ

§5.1. Условия задачи

По тем же причинам, что и в предыдущей главе, ограничим­ ся рассмотрением только двух гипотез. Если процесс, соответ­ ствующий одной из гипотез, как-то зависит от сигнала, а для другой—нет, то задачей решающего устройства будет обна­ ружение сигнала. Если при обеих гипотезах наблюдаемый про­ цесс зависит от одного из двух сигналов, задачей решающего устройства будет различение процессов. Таким образом, нет необходимости дифференцировать процедуры обнаружения сиг­ налов и различения случайных процессов, поскольку они ничем принципиально не различаются между собой. Для упрощения терминологии ограничимся только вторым типом процедур.

Если n-мерный случайный вектор Z может быть представ­ лен выражением

Z = ]/A T,

в котором случайная величина X неотрицательна и имеет плот­ ность f{x), /г-мерный случайный вектор Y имеет гауссовскоераспределение вероятностей с нулевым математическим ожи­ данием, то распределение вероятностей для Z определяется плотностью

f n {zu ... , z „ ) = |

/

W

—jf-exp j —

(Л$, z)\dx,

 

 

 

(2**)2

определенную п-

где Л — представляет

собой

положительно

мерную квадратную матрицу с элементами

Кш) detA — опреде­

литель матрицы Л;

 

 

П

П

 

 

 

_

 

(Лг,

V

2х*

 

2) —

/ j

 

 

 

 

й=1

г=1

 

На гильбертовом пространстве Н такими плотностями вероят­ ностей порождаются вероятностные меры, образующие семей­

ство Р7.

гипотезам меры Р\ и

Будем считать, что соответствующие

Р принадлежат семейству Р/т*0 (§ 3.5),

являющемуся частью

семейства Pv. Такой выбор вероятностных мер позволит охва­ тить достаточно широкий круг прикладных задач.

Оптимальная процедура различения пары процессов по лю­ бому из байесовских критериев сводится к нахождению отно­ шения правдоподобия и' сравнению его с некоторым критиче­ ским уровнем. По этой причине целью ближайших параграфовявляется нахождение замкнутого выражения для отношения правдоподобия и вычисление вероятностей ошибок, соответст­ вующих такой процедуре различения процессов.

89.1

§ 5.2. Общее выражение для отношения правдоподобия

Если A ( z ) — отношение правдоподобия, то справедлива Теорема 5.2.1. Пусть вероятностные меры Р { и Р при­

надлежат семейству Р/-р0, причем функция / (л") кусочно-не­ прерывна. Тогда

A(Z) =

 

/

V(*)

exp

 

U ( z )

(5.2.1)

 

 

 

 

 

f [ V ( z ) )

2

V ( z )

(п. в. Pu P); функция U(z)

определяется

леммой

3.5.4,

функция V(z) определяется леммой 3.5.1.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если v u ...

, vn— собственные эле­

менты оператора A i,

совместные

распределения вероятностей

случайного вектора (<z,

... ,

<z,

t>„>} для первой и

нуле­

вой гипотез определяются формулами (3.5.1)

и (3.5.2). Для них

А С_\

fin (^Z, УУ,

• ■• |

KZ, f n>) __

 

 

n{z) ~ f n(<z, v y ........<*, t-„» —

 

 

Ц f ( x ) ( x ) . 2 e x p .

] /

j f ( x ) ( x )

2 e x p j — ^ - ^ < z ,

)

 

о

1

*=i

_ г

L

J

(5.2.2)

 

Г«(г).

 

 

x"/n v

 

где

 

k~\

 

 

П

 

 

 

 

 

 

h=l

 

Угп (z) —

 

« , v k >

n

\ k

 

 

/1=1

 

 

 

42

Y u e

ДД

 

e x p {—ё ’- t ''•«(*)}rfjc

/,„(*)

 

7«(z)-

 

 

 

e2

fix)

Vn(z)

CXP \— vni*)\dx

2 /« Pn(*)

 

 

 

90

Согласно теореме 1.7.1, для вычисления отношения правдопо­ добия достаточно найти Н-измеримый предел последователь­ ности функциий Лп(z) при п->-оо.

В леммах 3.5.1, 3.5.2 и 3.5.3 показано, что последователь­ ности функций Vn (z) и Vm(z) сходятся почти всюду на Я от­ носительно каждой из мер Р] я Р к одной и той же (п. в. Р ь Р) конечной Н-измеримой функции V(z). Это позволяет вос­ пользоваться леммой 3.6.1 и написать

 

 

 

 

Нт чп(г)-.

/

 

V(z)

 

 

 

(5.2.3)

 

 

 

 

f[V{z) 1

 

 

 

(п. в. Ри Р).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предельная

функция

в

этом

равенстве,

очевидно,

является

Н-измеримой.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем обозначение

 

 

vn (*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X n(z)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

In [Хп{г)\п = п \ п Х п{г) = п

£

,

 

 

то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п[Хх [ % 7 ц

 

 

 

 

л Iх « (* > -1 ь

 

 

Но Х п (г) -> 1 (п. в. Ри Р),

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^к —Хо <2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\Г\

1'иУ-

п \Х

(z) — 11 =

п - Г"

 

~ Vln ^

=

__ —

Vln[z)

 

 

1

*l J

 

1J

П

 

Vla(t)

 

-

 

 

 

 

и, как следует из леммы 3.5.4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пт т

*2

± ^ < z ,

v k>*=U(z)

 

 

 

 

 

п —ОО

 

*=1

 

 

 

 

 

 

 

 

(п. в. Ри Р ),

 

 

 

 

(J(z)

 

 

Ри Р)

 

 

причем

функция

(п. в.

конечна и

Н-измерима. В силу этого

 

 

 

 

 

 

 

 

Пт

Vn{z)

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

Хп(г) 1Х *^

2

-

ехР { g, ’

к [z!

V\n (г)

 

 

 

 

 

(п. в. Plt

Р), причем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5.2.4)

предельная функция Н-измерима.

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

 

ряд

2(Х* —Х0) сходится абсолютно,

а 0 < Х 0<

 

 

 

ft==i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

< оо, то

произведение

 

также сходится и не равно нулю.

 

 

 

 

 

* = i

 

 

 

 

 

 

 

91

Смотрите также файлы