Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf

ности ошибок в этом случае. Найденные выражения позволя­ ют оценивать возможный выигрыш от учета в структуре при­ емника случайного характера интенсивности помехи.

Известно, что оптимальные процедуры бинарного приема и обнаружения полностью определенных сигналов при чисто гауссовской аддитивной помехе заключается в сравнении функ­ ции W(z) с тем или иным значением критического уровня w0. При этом решение принимается в пользу нулевой гипотезы для \V(z)<w0 и в пользу первой гипотезы для W ( z ) ^ . w 0.

Если бы помеха была действительно чисто гауссовской, то

1!я-б||Л,_1

Поскольку на самом деле помеха имеет случайную интен­ сивность, вероятности ошибок будут другими и, в общем слу­ чае, не будут совпадать с величинами, определяемыми форму­ лами (4.6.9) и (4.6.10).

Функцию распределения вероятностей Fw(w) случайной ве­ личины W относительно меры Р можно получить из формулы

величины W относительно меры Р\ получим

Л » (W) = Pi (Z 6 И : W(z) < w j =

СО

Учитывая, что обе функции распределения вероятностей в дан­ ном случае являются непрерывными, для вероятностей ошибок первого и второго рода на основании (4.7.3) и (4.7.4) будем иметь соответственно

p0= P[z£H: W(z)> та0) = .

83

А = Л [ z ^ H : W { z ) < w 0) =

(4.7.6)

Как видим, полученные выражения отличаются и от выраже­ ний (4.7.1), (4.7.2) и от выражений (4.6.9), (4.6.10).

Рассмотрим частный случай оптимального по минимуму вероятности ошибки бинарного приема сигналов. В этом слу­ чае цены ошибок равны единице, а цены правильных реше­ ний— нулю, и по теореме 1.2.2 оптимальная процедура прие­ ма будет заключаться в принятии решения в пользу первой ги­ потезы, если отношение правдоподобия больше или равно еди­ нице, и в пользу нулевой гипотезы, если оно меньше единицы. Очевидно, к тем же результатам приведет сравнение логариф­ ма отношения правдоподобия с нулем.

Можно показать, что для гауссовских мер, имеющих те же математические ожидания и корреляционный функционал, что и меры, рассматриваемые в данной главе, натуральный лога­ рифм отношения правдоподобия равен пределу последователь­

Данный предел существует как в смысле сходимости в среднем квадратическом, так и в смысле сходимости почти всюду от­ носительно обеих гауссовских мер [11]. По этой причине опти­ мальная процедура приема будет эквивалентна процедуре срав­ нения с критическим уровнем

в пользу нулевой гипотезы при W <w0.

Если в действительности помеха имеет случайную интенсив­ ность, то, как следует из формул (4.7.5) и (4.7.6), вероятности ошибок для этой процедуры будут определяться равенствами

84

A .= /> i = y - I f m [ \ y ^ \ \ a - b \ \ K_ x) dt , (4.7.8)

о

поскольку Ф(х) является нечетной функцией.

Чтобы получить выражения для вероятностей ошибок, со­ ответствующих оптимальной процедуре, применительно к по­ мехе со случайной интенсивностью, нужно положить в форму­ лах (4.6.9) и (4.6.10) уо= 0. Легко заметить, что в результате этого опять получим равенства (4.7.8).

Таким образом, при равных вероятностях гипотез приемник, оптимальный для чисто гауссовской помехи, будет оптималь­ ным и для гауссовской помехи со случайной интенсивностью для практически произвольных законов распределения вероят­ ностей этой интенсивности.

§ 4.8. Пример

Проиллюстрируем порядок расчета оптимальной процедуры проверки гипотез на конкретном примере.

Пусть пространством Н является L2[0, Т\, а оператор К оп­ ределяется равенством

значений оператора К на Ь2[0, 7] состоит из всех абсолютно непрерывных функций f(t) пространства L2[0, Г), имеющих аб­ солютно непрерывную первую и 'квадратично интегрируемую вторую производные и удовлетворяющих граничным условиям

которое путем интегрирования по частям и применения гранич­ ных условий (4.8.2) может быть записано в симметричном виде

85

тично суммируемые производные. Для таких функций

1 к - б |2_ 1= ^ И 0 ) - £ ( 0 ) р +

о

При этом, согласно (4.4.7), (4.8.3), (4.8.5) и § 2.5,

W(z) = (z, [a — b\)K- i — (a — b, а) к - 1 =

т

с областью определения М, состоящей из всех абсолютно не­ прерывных функций с квадратично-суммируемыми производны­ ми, обращающихся в нуль на границах промежутка [0, Т], для любых u(t) и v(t) из М удовлетворяет условию

(KCtu, C0v) — (и, v).

При этом легко заметить, что М всюду плотно в L2[0, Т\, по­ скольку М содержит множество всех бесконечно дифференци­ руемых функций, обращающихся в нуль в некоторой окрестно­ сти граничных точек промежутка [0, Т] (своей для каждой функции), а последнее всюду плотно в L2[0, Т] (стр. 23 [201).

86

каждая из которых, очевидно, принадлежит М. Далее,

87