Файл: Козин, И. В. Элементы теории оптимального обнаружения и приема сигналов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 30.10.2024
Просмотров: 70
Скачиваний: 0
Назовем оператор К корреляционным.
Разумеется, если мера Р принадлежит семейству Ра, а Ьу,
•v=l, |
2, .... |
я — математические ожидания случайных |
вели |
||
чин (z, vv) с линейно независимыми элементами vv, v=l , |
2, .. |
||||
я из |
Я, то |
совместные |
распределения случайных |
величин (z, |
|
vv)—m(vv), |
v=l , . . я |
полностью определяются |
плотностями |
||
вероятностей. Как и при доказательстве теоремы 2.2.1. нетруд но убедиться, что справедлива
Т е о р е м а 2.2.2. Вероятностной мере из семейства Ра со ответствует положительной корреляционный оператор.
Выделим теперь более узкое, чем Ра семейство вероятност ных мер. Пусть Fv(x) ■— функция распределения случайной ве личины (z, v). Будем считать, что ме р а Р ( ; Р а принадлежит семейству Рр, если она при любом отличном от нулевого v £ Н удовлетворяет равенству
х — m (у)
У К (v , v)
? v(x)= | g{t)dt,
—СО
вкотором g(t) является плотностью вероятностей, не завися щей от v £ Я.
§2.3. Условия ортогональности вероятностных мер
из семейства Рр
Используя тот же подход, что и для гауссовских мер (стр. 104 [11]), докажем несколько теорем об ортогональности мер из Рр. Пусть вероятностные меры Р и Pi принадлежат семей ству Рр, причем случайной величине (z, v) при фиксирован ном v относительно меры Р соответствуют математическое ожи дание (b, v), корреляционный оператор К и плотность вероят ностей g(t), а относительно меры Pi — математическое ожидание (a, v), корреляционный оператор Q и плотность ве роятностей g](t).
Т е о р е м а 2.3.1. Вероятностные меры Р |
и Р\ из семейства |
|||
Рр ортогональны при нарушении неравенств |
|
(2-зл) |
||
0<ci<77SHJf<^<ю’ |
||||
где ci и с2— константы. |
Согласно |
теореме |
2.2.2, |
операторы |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
||||
Q п К положительны, |
поэтому в Я |
не существует |
элемента, |
|
для которого бы какая-либо из форм (Kv, v) или (Qv, v) об ращалась в нуль.
Если существует последовательность v n элементов из Н
такая, что (/0 |
в,„ v n) — \, (Qvn, vn) |
0 при |
со., то |
Р |
{| («, -»„) — (a, vn) | < |
ViQVn, |
vn) } = |
|
|
= |
j |
g (t) dt -» 0, |
|
|
|
|
||
|
\t — {a — b , v n) \ < V(Q vn, *«„) |
|
|
|
||||||
P\ (l (2. |
®n) — (a,О |
| — r'(Qy„, |
u„)} = |
j gi (t) dt-> |
1. |
|||||
. |
> |
|
|
|
|
|
I < 1< |
4 |
1 |
|
|
|
(Kvn, |
v n) |
|
|
V (Qvn, 'V„) |
||||
Соответственно, |
если |
|
0, |
(Q^n, |
-a,,) |
1 |
при |
|||
n - У с о , TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^{l (г, |
®„) — (/>, |
г)п) | < |
V (K vn, vn) } -у 1, |
|
|
|||||
Pi \l (-. ®I.) — {b, v n) I < V0<vnt v „)} -» 0.
Теорема доказана.
Замыкая совокупность элементов Н при помощи скалярного произведения
|
|
(н , v ) q = {Qu , v ), |
получим |
гильбертово |
пространство Hq. Т очно таким же обра |
зом для |
скалярного |
произведения |
|
|
(и, v)K — (Ku, v) |
получим гильбертово пространство Нк . Из сепарабельности
пространства |
Н в данном |
случае вытекает |
сепарабельность |
||||
пространств H q и Нк . |
Если выполнено условие |
(2.3.1), то про |
|||||
странства Hq и Нк состоят из одних и тех же элементов. |
вве |
||||||
Так же, как в § |
1.6 введен оператор |
А и здесь можно |
|||||
сти оператор Qb связывающий равенством |
|
|
|
||||
|
|
|
(и, v)Q= (Q,k. v)K |
|
|
|
|
скалярные произведения пространств H q и Нк. |
|
если |
|||||
Назовем оператор |
Qx положительно |
определенным, |
|||||
найдется постоянная d> 0 такая, что |
|
|
|
||||
|
|
|
{QiU, |
и)к > d\\ufK. |
|
|
|
Из теоремы 2.3.1 |
следует |
|
|
|
|
||
Т е о р е м а |
2.3.2. |
Вероятностные меры Р и Р\ из семейства |
|||||
Рр ортогональны при нарушении хотя бы одного из следующих условий:
1)оператор Q\ ограничен;
2)оператор Q\ положительно определен.
Исследуем теперь функционал
A {v) — (a, v) — (b\ v). |
(2.3.2) |
Т е о р е м а 2.3.3. Для неортогональных мер Р и Pi |
из се |
мейства Рр функционал А (и) на Н линеен и ограничен относи
тельно норм пространств Нк и H q . |
яв |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Линейность функционала А (о) |
|
ляется очевидным следствием равенства (2.3.2). Докажем |
его |
|
ограниченность. Можно |
считать выполненным условие (2.3.1); |
|
28
поэтому, если Д (и„)->--F°o при »-*оо для некоторой последо
вательности |
On 6 ^ |
такой, что (Kv„, |
оп) = 1, |
то |
при п->-оо |
|
|||||
Р {(*, |
v„) — (b, |
|
|
= |
|
j |
g(t)dt-+ О, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
КЧ%) |
|
|
|
|
|
|
|
__________ |
|
|
со |
|
|
|
|
|
Л {(г, ®„) — (&, |
г»„) > V & (uj) = |
|
|
j |
|
|
{t) dt - r |
1. |
|||
Если же — Д (г'„)-> + |
со при |
я ->■оо, |
|
/ («"л- «л) |
|
|
|
||||
то |
|
|
|
|
|||||||
Я {(г, г/,;)— (a, v„) > V — а(г/я)} = |
|
|
J |
|
g(t)dt + |
1, |
|||||
Л {(Ч ®„) — (л, |
v„) > / - |
Д (г-,,)} |
= |
| |
|
(*) dt ■ |
0. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
~ л {vn)_ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
V(« V п) |
|
(Kv, |
||
Таким образом, |
функционал Д(и) |
|
конечен |
ода |
сфере |
||||||
и) = 1, т. е. ограничен относительно |
нормы 1Ы 1к |
на |
множестве |
||||||||
Я. В силу условия |
(2.3.1) |
он оказывается |
ограниченным на |
||||||||
этом множестве и относительно нормы ||i/||q. |
|
Р и Р\ из се |
|||||||||
Т е о р е м а 2.3.4. |
Для неортогональных мер |
||||||||||
мейства Рр функционал A(v) |
удовлетворяет неравенству |
|
|||||||||
|
|
|
& (4ft) < |
°°, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
k = \ |
|
|
|
|
|
|
|
|
в котором Vk — собственные элементы, |
a ).k — собственные |
чис |
|||||||||
ла корреляционного оператора К, соответствующего мере Р.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Из принадлежности меры Р к семей ству Рр вытекает положительность и ядерность оператора К. Таким образом, оператор К имеет полную в Я ортонормиро-
ванную систему собственных элементов {г/;{}”=1 и систему по ложительных собственных чисел. По теореме 2.3.3 функционал Д(о) = (а—b, v) непрерывен, а, следовательно, и ограничен от носительно нормы пространства Нк- Благодаря этому, по тео реме Риса, 'В Нк существует элемент w, для которого при лю бом v ^ Я
(a — b, v) = {w, v)K . |
(2.3.3) |
Но при w £ H K и v ^ H
(то, v)K = (Kv>, v),
атак как множество Н всюду плотно в Нк , то
а— b — Kw.
Нетрудно показать, что система элементов
(2.3.4)
^>k_ оо
V 4 }/1=1
является ортонормированмым базисом в Нк- Поэтому из при надлежности v k к Нк вытекает неравенство
СО
Но ги£Н, поэтому, согласно равенствам (2.3.3) и (2.3.4),
Следовательно,
-j-i
Сформулируем теперь аналог теоремы 2.3.1 в терминах на чальных моментов второго порядка, обозначив через В опера тор момента второго порядка меры Р и через А оператор мо
мента второго порядка меры Р\. |
|
|
и Р\ из |
семейства |
|
Т е о р е м а 2.3.5. Вероятностные меры Р |
|||||
Рр ортогональны при нарушении неравенств |
|
|
|||
О < сj <. |
(Av, |
о) < |
с , < со , |
|
|
(Bv, |
v) |
|
|
|
|
где с| и с2-— некоторые постоянные. |
теореме |
1.2.1, |
операторы |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Согласно |
||||
А и В являются положительными, поэтому в Н пе существует
элемента, для которого бы какая-либо из |
форм |
(Av, |
и) |
или |
|||||
(Bv, v) обращалась в нуль. |
|
|
|
|
из Н, |
||||
Если существует последовательность vn элементов |
|||||||||
для которой (Bvn, un) = l, |
(Avn, vn)-+°o, то поскольку |
|
|
||||||
(Avn, vn) = |
(Qv,n vn) + (a, |
®„)s, |
|
|
|
||||
(Bvn> v n) + (Kvn, v„) + {b, |
v nf, |
|
|
|
|||||
последовательность |
v n принадлежит |
единичному |
шару прост |
||||||
ранства Нк и для |
нее |
| (a, v n) | -> |
со , |
а |
| (b, v n) | < 1, |
т. е. |
|||
функционал A (о) = |
(a, |
v) — (b, v) не |
является |
ограниченным |
|||||
относительно нормы ||'о||Л-, |
по теореме 2.3.3 меры Р и Рг орто |
||||||||
гональны.
Если существует последовательность элементов из Я такая, что (Av„, vn) = l, (Bvn, и„)-э-оо, функционал А(и) не является ограниченным относительно нормы ||o||q. По теореме 2.3.3 ме ры Я и Pi и в этом случае ортогональны.
Теореме 2.3.5 эквивалентна
Т е о р е м а 2.3.6. Вероятностные меры Р и Рi из семейства Рр ортогональны при нарушении хотя бы одного из следующих условий:
а) оператор А\ ограничен; б) оператор А\ положительно определен.
30