Файл: Приц, А. К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций.pdf

а, р, у и сложим полученные выражения. Вынося бЛ^ за скобки, будем иметь:

г=1

В силу ■независимости переменной бД^, уравнение (1-—17—8) удовлетворяется только при условии:

Равенству (1— 17—9) отвечают фиксированные численность и структура популяции. В соответствии с самим понятием структу­ ры, это означает, что равенству i(l— 17—9) соответствует опре­ деленное распределение численности популяции по возрастам.

Из (1— 17—9) следует, что

Nm{

Константа С в формуле (1— 17—ПО) легко определяется, если учесть условие (1— 17— 1). Действительно, суммируя'(1 — 17— 10) по всем возрастным группам и учитывая (1— 17— 1), находим:

И выражение (1— 17— 10) принимает вид:

г=1

Эта формула определяет связь между возрастной численностью I-ой группы популяции Ni, массой /щ отдельной особи i-го воз­ раста и общей численностью популяции N.

58

Если же в качестве фиксированных параметров, характери­ зующих состояние популяции, взять численность популяции энтропию популяции 5 и среднее время жизни популяции Т, определяемое уравнанием:

7 * = ( 1 - 1 7 - 1 5 )

г

(где ti — возраст г'-той группы популяции), то вместо 'выражения

(1—il7— 14) получим:

Значение 0 определяется из эксперимента на основе физических, соображений

§18. Средняя масса одной особи и свободная масса популяции

где величина Z, (а значит и Ч*1) является конечной постоянной величиной и, кай видно из формулы (1— 17— 14), не зависит ют численности возрастной группы АД а является характеристикой всего состояния популяции в целом. Подставляя значение Z в. (1— 17— 14), получим выражение для численности возрастной группы i /е-го года популяции в виде:

Деля обе части (1— 18—2) на численность всей популяции, полу­ чаем

Средняя масса одной особи популяции определяется формулой

59'

Найдем связь .между структурой популяции S, функцией 4х и средней массой популяции < / я > . В соответствии с формулой

,(1— 14—3) и (1— 18—3) получаем:

Учитывая условие 'нормировки вероятности

характеризующей «свободную массу» популяции. «Свободная масса» зависит от фиксированной средней массы одной особи, от структуры популяции 5 и от численности популяции.

Свободная масса может увеличиваться с уменьшением энтро­ пии или уменьшаться с ее увеличением и зависит от изменения во времени средней массы одной особи популяции.

Найдем вид параметра 0, который представляет модуль ста­ тистического распределения численности популяции по возраст­ ному признаку. В зависимости от степени и вида взаимодействия особей внутри популяции, а также от 'внешних условий, модуль статистического распределения может быть различным. Если рас­ сматривать рыбную популяцию в условиях достаточно интенсив­ ного вылова, то определяющими для такой популяции будет мак­ симальное воспроизводство пополнения (условия саморегуляции означают оптимальность пополнения).

Будем считать, что популяция находится в стационарном со­ стоянии, а связь численности первой возрастной группы с числен­ ностью всей популяции определяется рисунком 2. Если исключить из рассмотрения промежуток времени, когда новое пополнение

€0

вступает в популяцию, то можно считать, что выражение (1— 18—2) .будет справедливо на всем остальном интервале вре­ мени года. Возрастная структура популяции этого года должна быть такова, чтобы обеспечить максимально возможное воспро­ изводство на следующий год, то есть численность первой возраст­ ной группы должна быть максимальной. Это .означает, что попол­

является функцией численности популяции и должно быть опти­ мальным (в условиях интенсивного вылова — максимальным). Найдем вид параметра 0, удовлетворяющий условию оптималь­ ности пополнения Nu в зависимости от численности всей популя­ ции N.

чг—Л'т.. Ч'—Nm -

Выражение .(1 — 18— 1 1) говорит о том, что модуль статистиче­ ского распределения 0 равен произведению массы одной особи первой возрастной группы на численность всей популяции. По всей видимости, это справедливо для долгоживущих рыб. Под­ ставляя выражение для 0 в формулу (1— 18-—'8), находим зна­ чение для свободной массы всей популяции:

представляет свободную массу, приходящуюся на каждую особь популяции вначале года после икрометания.

Эта масса, умноженная на численность популяции, дает при­ рост биомассы в течение заданного промежутка времени в зави­

бодной массы 4J0 может происходить только за счет изменения возрастной структуры популяции 5.

Возрастная структура популяции определяется условиями воспроизводства и интенсивности промысла, что позволяет опре­ делить свободную массу популяции как функцию интенсивности промысла и естественных условий в течение одного года.

61

§ 19. «Свободная масса» популяции и критерий эффективности рыболовного промысла

«Свободная масса» популяции определяется соотношением

Y = N ( < т > —niiS).

Это соотношение указывает на следующие свойства «свободной массы»:

а) «свободная масса» популяции 'будет тем 'больше, чем мень­ ше энтропия популяции 5. Это утверждение эквивалентно утверж­ дению о «молодости» популяции, то есть, чем больше численность первых возрастных групп, из которых рекрутируются остальные возраста, тем популяция «моложе»;

б) «свободная масса» тем больше, чем меньше масса первой (нулевой) возрастной группы;

в) «свободная масса» пропорциональна численности популя­ ции N. «Свободная масса» популяции позволяет уточнить поня­ тие критерия эффективности рыболовного промысла, так как в формулу для Чг входит энтропия популяции S, которая является неявной функцией интенсивности промысла (см. формулу

(1— 18— 12)).

В зависимости от условия функционирования популяции кри­ терием эффективности могут служить разные величины. Так, в качестве одного из критериев эффективности может быть выбран такой вариант, при котором вылов в данный год был 'бы макси­

Но максимальное значение выловленной массы популяции есть сама масса всей популяции:

Ясно, что если выловить всю популяцию, то «а будущее вре­ мя ничего ловить не останется, что является нецелесообразным. Поэтому на систему необходимо наложить ограничения, которые позволили бы вести такой промысел, когда годовой улов является максимальным, а биомасса популяции неизменной или увеличи­ вающейся во времени. Это и будет являться критерием эффектив­ ности промысла, от которого зависит и управление промыслом.

Под оптимальным управлением в данном случае будем попи­ вать такую совокупность воздействий на популяцию, которая со­ вместима с наложенными на популяцию ограничениями: макси­ мальный вылов на данный год при неизменной или возрастающей биомассе на будущий год, то есть необходимо выполнение усло­

62