Файл: Приц, А. К. Принцип стационарных состояний открытых систем и динамика популяций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 30.10.2024

Просмотров: 51

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

=

 

11ш м „ г ^

L

_

 

lnI." .< »)

]

=»•

 

 

 

 

 

Т->-}-сс 1

 

 

g 1

 

 

 

 

£l

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно, из (1— 10— 19а) получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Oll/2==:0.

 

 

 

 

(1 —

10— 2 0 )

Меняя ролями индексы 1

и 2,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VzYi^O.

 

 

 

 

(1 —

 

10- -20a)

Далее, согласно (1— 10—8) и i(l — 10—9),

 

 

 

 

 

 

 

 

d

-vlv2= v 2f i r lai2Y2—Vi$2~1aL2Yi,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т.

e.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 4 - VtV2=

 

V2Y2—

 

DlYi.

p2

(1 —

101—21)

 

 

 

dif

 

 

 

 

Pi

 

 

 

 

 

 

 

Но, согласно (1—9—9),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

т

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim —

J

—— viv2d t =

lim — [di(7,) w2(7’) —иДО) w2(0 )]:

 

Г-++oo 1

 

Cu

 

 

'Tr-—H-1co— /

 

 

 

 

 

 

 

 

=

lim —

 

In

 

 

 

 

g2

 

 

■In

N,(0)

 

lnJV 2(0)

 

г-н-oo т L

g J

 

 

 

 

 

 

 

gi

 

g%

l=° -

Поэтому из (1— 10—21) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

PlUi y i = 2PU2l/2 =

® 2 =

COnst.

 

(1 —

10— 22)

Из

(1— 10—8) имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt»i

_

Й12

ДД

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

~

Pi

 

Уа‘

 

 

 

 

 

Отсюда, согласно (1— 10— 10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

doi

=

0

.

 

 

 

(1

—

1—23)

 

 

 

 

 

 

 

 

d /

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Меняя индексы 1 и 2, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv9

=

0.

 

 

 

( 1— 10- -23a)

 

 

 

 

 

 

 

 

d t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Далее, согласно (1— 10—8),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d^l

■c 2=

fll2

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

—-— Y 2v z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pi

 

 

 

 

 

 

 

36

Следовательно,

dui

ai2

,,

v2= — Y2v2.

dt

Pi

Отсюда, в силу (1— 10—22),

doi

ai2

.(1— 10—24)

V<l—

^ ^— Ф2.

dt '*

p^.

 

Меняя индексы и учитывая, что а21 = —a i2, получим отсюда

d«2

■vi--

«12

 

~~dF

Р1Р2 ■Фг-

Далее, согласно (1— 10—8)

(

 

 

'

dt>i

v

«12

v v

dr

 

' * i---

--

O '2-

 

 

 

 

Pi

Отсюда

 

 

 

 

 

 

dOi

у1=

 

 

 

dt

 

 

Pi

 

Следовательно,согласно (1— 10— 15),

di/i

~ dT Yi= 0.

Заменив индекс 1 на индекс 2, получим отсюда

dv2

У2= 0 .

dt

Далее, согласно (1— 10—8),

doid^ Y2— y2\

Следовательно,

(1— 10- -24a)

( 1— 101—25)

( 1— 10- -25a)

d01

У ,=

Pi

df

"

Отсюда, согласно (1— 10— 17),

 

dOl v

Щ^2&2

dt

Yz=~

(1 1^)—26)

 

Pip2

37

Далее, согласно (1— 10—8) и (1— 10—9),

Отсюда, в силу (1— 10— 15),

 

 

 

 

dui

dv2

 

(1— 10—27)

 

dt

d£

 

 

 

 

Далее, согласно (1— 10—8)

 

 

 

 

 

 

dzn

 

Отсюда, в силу (1— 10—26),

 

 

 

/ dfj

\2

Pi1Й12Й1202ёг2

 

' A t

1

 

№

 

г. е.

 

 

 

 

/

dui \2 _a2d202g2

(1— 10—28)

' A t I

~

р2 р2

 

Далее, в силу (1— 10—23),

 

 

 

 

a“Vi

 

( 1 - 1 0 - 2 9 )

 

~ ^ Г = 0-

Используя полученные соотношения, можно найти усреднен­ ные по времени значения полиномов, содержащих щ, v2 и их про­ изводных по времени.

Найденные выражения для «интегралов движения» пред­ ставляют собой сумму членов, каждый из которых определяется своей компонентой. Это позволяет рассматривать сложную си­ стему как совокупность подсистем, как это делается в статисти­ ческой механике.

Это и проделал Кернер [42], а до него Гудвин [41] для си­ стем Вольтерра, динамику изменения которых описывают урав­ нения (1—9—3). Состояние системы в фиксированный момент времени характеризуется одним из возможных наборов началь­ ных значений о,-, совместно с постоянством G (1—9— 12). Состо­ яние каждого члена ансамбля подсистем представляется точкой в фазовом пространстве щ, v2, . . •, vnj так что состояние всегоансамбля характеризуется совокупностью фазовых точек. Ан­ самбль эволюционирует во времени. Поэтому совокупность то­ чек движется в фазовом пространстве.

38

■Обозначим плотность фазовых точек в фазовом пространстве

через д(оь v2 , . . . ,v n,t).

Уравнение неразрывиости для этой плотности имеет вид:

 

до_

-div j — О,

 

 

т. е.

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dQ

 

 

do

 

 

dt

■j-div q d£ '0,

 

 

dQ

 

 

dVi \

0.

(1— 10—30)

dt

 

 

=

 

 

Q~ d f)

 

 

Но, согласно (1—9— 10),

doi

не зависит от

„

—

Следовательно,

уравнение (1— 10—30) можно переписать в виде

 

dg

, ^

dg

do*

 

(1— 10—31)

d +

 

dvi

~ d f

 

 

 

 

г

Но левая часть этого уравнения есть полная производная q по t. Отсюда получим теорему Лиувилля о постоянстве плотности со­ стояния q в фазовом пространстве.

q= const.

(1— 10—32)

Кернер показал, что построенные ансамбли в фазовом простран­ стве Vi удовлетворяют условию эргодичности, т. е. что усреднен­ ное по времени значение компоненты равно среднему по сово­ купности значению той же компоненты при ее различных на­ чальных значениях.

•Пусть известно среднее по совокупности значение < f > функции

f(v u v2, . . . , vn).

Тогда легко найти среднее по совокупности значение численно­ сти Ni t-ой компоненты.

Пусть состояние компоненты задано начальным значением

интеграла G системы (1—9—3)

(см.

(1—9— 12)),

т. е. G (0).

Среднее значение по совокупности < / >

функции f

определяет­

ся с помощью микроканонического ансамбля соотношением

1fedt

 

(1— 10—33)

< f > = ~

-------- •

J edt

39

Смотрите также файлы