Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 71
Скачиваний: 0
Замечание. Плоска! волна ~¥а> не является ограниченным функ
ционалом, действующим в W2 |
(ft |
11) . |
Теорема 9'. При п^.£ |
справедливо равенотво |
|
гдв |
S |
единичная сфера в |
fth |
, <Ш - элемеит |
поверхности |
||
на |
3" 1 |
, <jj t |
S h |
' - переменная интегрирования, И ы |
|
||
плоская волна, ооответотвующаяобобщенной функции |
|
||||||
|
{ V |
(Ып[ |
V |
1 |
|
» l J |
(45) |
R |
|
R |
|
Задача. Доказать, что обобщенная функция |
принадлежит |
||
цроотранотву |
1 |
1 |
|
Wt~ |
( ft ) |
|
|
8амечани. I . При п нечетном Re Jt(^) выражается черев производные & - функции, при П -четном - через производима функции ^- •
2. Равенство (44) короче записывают • виде
£=1 |
R e X « i d i l |
(47) |
||
Задача. |
Доказать, |
что |
при нечетном h R e X t |
с (R*j |
а при четном |
Re if |
& |
h " ' | RJ ) |
|
Доказательство. Рассмотрим S* -образную последовательность^!
(48)
- 90 -
Перейден в интеграле (48) х оферичеоким координатам:
S " " H i
Раоомотрин внутренний интеграл
О
Нетрудно видеть, что
h
Из °" -обраэнооти пооледоватвльности (6j) следует V"P6C0 (R ) !
Обозначая |
|
|
|
|
|
|
|
переписываем внутренний |
|
интеграл из правой части (52) в виде |
' '*Г' |
|||
^" |
|
|
|
(53) |
|
(~Ч4,) |
Ы |
|
|
где |
" 7 , * • ^ |
^ » |
(мы произвели |
|
(г> -1) -кратное антагрировашю Ш) частям). Вычислим предел од
номерного интеграла, стоялого в правой чаоти (53) s-r < -* <»
В силу соотношенияения |
i |
^ |
1 |
""J |
|
|
- |
91 - |
Имеем;
Далее
ft- v - P - J ^ r W ^ f u ; , I £ ^ [ Г ( , | - У И ) ] = |
( 5 5 ) |
|
Финитная функция"^ , входящая в (53), зависит оз параметра |
||
|
S"- 1 |
, причем легко видеть, что сама она и ее производны |
|
|
любого порядка ограничены равномерно по со |
; кроме того |
|
j |
вне некоторого отрезка, не зависящего от 03 |
. При этих усл |
|
|
'сходимость в (54) и (55) будет равномерной по (л) .(Докажите |
||
|
самостоятельно). |
|
|
|
Оказание. |
|
|
покажите, что HVlt^j |
ограничена константой, не зависящей |
|
OI, Таким образом в формуле (53) допустим переход в пред |
||
гпод знаком интеграла по «1Л |
, что две» |
|
5*-» |
ft* |
К""1 |
а это означает по определению производных обобщенной функции,
Поскольку о - функция - вещественный функционал Сможет быть по
лучена как предел последовательности вещественных функций), отсю да следует (44). Теорема доказана.
§ 10. Линейные неограниченные операторы. |
|
|
||||||
Определение. Пусть |
|
банахогч пространства. |
||||||
Линейным оператором |
А |
, действующим из Hi |
в Нг называется |
|||||
отображение линейного подпространства 3)(А) |
пространства Н( |
|||||||
в Hi |
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющее условию A ( J 3 " * " ^ ^ ) = |
<J.Aj + JlA f |
д л я |
||||||
любых окаляров J} |
ft |
и векторов |
^}~f |
из Ъ{{\} |
. Мно |
|||
жество |
называется областью определения опепатора А |
|||||||
Употребляется обозначение; |
|
|
|
|
||||
В дальнейшем мы всюду предполагаем, что множество Ъ(&) |
||||||||
плотно в |
Н, |
, т.е. Ъ0\Ы Н, |
; черта означает замыкание. |
|||||
Область значений оператора А |
, т.е. множество |
|
||||||
будем обозначать R ( ^ ) . |
|
|
|
|
|
|||
Определение. Оператор Д |
называется непрерывным, |
если |
||||||
Определение. Оператоо А" |
называется ограниченным, |
если |
||||||
, | А |
| | = |
^ р |
|
|
|
|
|
|
- 93 -
Как известно, непрерывность линейного оператора "рвввоадик его ограниченности.
Замечание. В дальнейшем термин "иператор" воюду означает "линейный оператор".
Непрерывный оператор /\ однозначно продолжается по непре рывности на 2)(Д) (В нашем случае - на Н| ) ; мы уже п лись этим при определении преобразования Фурье F: W.K(R")-»-W
Предоставляем читателю доказать возможность такого продолжени
(Указание: если |
Л)(А) Э— $ бИ(А) |
, положить До, =-fieri А^и |
|||
проверить корректность такого определения). |
|
|
|||
Легко привести примеры неограниченных операторов. |
|
||||
Пример. Пусть Н, = И2"= «^г.CU.^J |
(ом.§ 2), 3)(Т) |
- множ |
|||
ство непрерывно дифференцируемых на [CjJTJ |
функций (оно пл |
||||
но ъ |
С°ХЭ |
, так как любую непрерывную на С»,л-1 |
функци |
||
можно с заданной точностью аппроксимировать полиномом равном
и, следовательно, |
по норме |
|
) 1 Т - оператор дифференциро |
||||||||||
вания. Рассмотрим следующую последовательность \_Уь\ функций |
|||||||||||||
из D ( T ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеем |
j, |
£ |
Г |
1 |
> |
|
|
|
|
|
|
|
|
При етом |
i|T i p |
.,* |
|
_ |
AJL |
1 |
-f J |
' C 0 i |
2 |
их J x = h*. Поэтому |
|||
|
|
|
I I * . II |
|
|
У |
|
|
|
|
|
||
т.е. оператор Т |
неограничен. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. Пусть H,= |
H;> = |
4 H R ' J , i ) ( T J = 5 |
, . |
|
|||||||||
- оператор умножения на независимую переменную |
: ( T f |
xf{x) |
|||||||||||
Рассмотрим последовательность |
|
\ : |
|
|
|
|
|
||||||