Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 74
Скачиваний: 0
ftn ft*
Задача. Польвуяоь равенством Пароеваля (16) доказать воррет нооть данного определения. Получить аналоги предложений I и 2 д
пространств |
|
. Обобщить равенотво Пароеваля (16) |
на му- |
||||||||
чай, когда # |
€ < ( H w ) |
, f |
б W/" |
( f t h ) |
|
|
|
|
|||
Теорема 5. Пуоть Ф |
|
- ограниченный линейный функционал ва |
|||||||||
®f(R") |
.Тогда 3 |
Ь € |
|
, |
€ |
|
|
|
|||
Ф(«)= J 4 |
^ W ^ |
9^ |
' W ) - |
О"*" |
' |
( 2 |
8 ) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Доказательство. Пуоть |
x |
|
х |
|
Jl/*) . Тогда |
||||||
Ь « - J P ^ ) ' l J W I ' J * = J i » w i ' - b - l » l l , b , |
ц ц |
||||||||||
Функционал *Р |
порождает линейный функционал |
|
на |
|
|||||||
определенный на плотном множестве З с |
^(R^) |
|
формулой^ |
||||||||
и ограниченный в силу (29).
Поскольку по теореме Риооа-Фреше каждый непрерывный шейвый функционал на гильбертовом пространстве являетсяp скалярным
произведением , существует такой элемент f& L*/R ) что
n
Vf«Lt(R )
т Ы = j f W f i « ) j * .
ft"
Ф ( 9 ) - Г ^ Ы ^ » « ftm J - f j H v l t j J . x fin, h i {«)•(«№*.
- 79 -
где hj(x)=(f+W 2 fj (*) |
t причем из сходимости последователь |
|||||
ности |
%Lz[f{n} следует сходиность |
последовательности |
||||
л к некоторому элементу he V^r^CR"} |
. Таким обравои, при ^б<5 |
|||||
Поскольку 3 |
плотно в |
|
, теорема доказана. |
|
||
Предложение 2 и теорема 5 означают, |
что W/^/l* |
1 ) |
ест |
|||
пространство линейных ограниченных функционалов на №%(Я*) |
||||||
Отсюда н из теоремы 3 следует; |
|
|
• |
~~ |
||
Теорема 6. Отображение |
|
|
определен |
|||
ное формулой |
CAfJ($}= |
J-f(x)^(K]^x |
|
является изометрическ |
||
изоморфизмом. |
|
|
|
|
|
|
§6. Производные функций иэ W£
рПусть 3)т : S -+ Ъ - оператор дифференцирования по w» -ой координате: \
Теорема 7. Оператор 3)ni ограничен как оператор, действу на w / ( n n ; . в \ л & к и ( И
Доказательство. Интегрируя по частям,'имеем
a"
* 80 -
Teopeua доказана. |
|
|
|
||
Ограниченный на плотной подмножестве S С. Wu |
(Я / опе_ |
||||
ратор |
|
можно по непрерывности расширить на все простра |
|||
во |
|
. Расширенный оператор будем обозначать тем же |
|||
оиыволоы |
|
|
|
|
|
Определение. Пусть |
Обобщенная |
функция |
|||
|
|
У ^ % а з ы в а е т с я частной производной обобщенной |
|||
функции |
|
по Ш -ой координате. |
|
|
|
Замечание. Хотя и не имеет смысла говорить о значении о |
|||||
функции в точке, |
мы будем иногда использовать символ f (*J , |
||||
f e W j |
( R h ) |
(см. .например, в § 5 определение интеграла |
|||
R J - f W * ) d x |
> 1* |
V t f H , 5 б W,-*(fthJ |
) . в соответ- |
||
отвующем контексте мы будем использовать для частных производн обобщенных функций обозначение
Задача. Пусть У е W^R*1) |
. Доказать, |
что функционал |
|||
£ 6 wr""' ( R h |
j |
на пространстве Y/jf** ( R h ) |
, дейотвую- |
||
щий по формуле; |
• |
|
|
|
|
R* |
. |
Л" |
|
|
(32) |
совпадает с |
|
|
|
|
|
§ 7. Теорема вложения С.Л.Соболева. |
|
||||
Теорема 8. |
Пусть 3,: W4 *(fth ) _ |
C(Rh ) |
-оператор, опре |
||
деленный на «5 |
и действующий по формуле |
|
|||
Если К |
|
, то оператор ^ |
|
ограничен. |
|
- 81 -
|
Доказательство. Пусть -f^S , |
f |
- |
фурье-образ функции f > |
|||||||||||
• o [ J r ] - t - i |
|
• Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
получаем |
оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
( 2 * Я |
2 1 № * J | f W l d p * J О М " ^ |
/?(Р)| ( Р |
Ч ^ d p * |
||||||||||||
|
|
|
|
IT |
|
|
ft" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(35) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
'VV* |
|
|
R» |
|
|
|
|
. |
• |
|
|
ft" |
|
|
^ |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ftn |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(36) |
|
|
поскольку п-<-2к£-1 |
(константа |
C n |
.в (36) равна |
площади |
|||||||||||
единичной |
|
- |
мерной сферы). Так как преобразование |
|
|||||||||||
Фурье из |
W^R") |
|
в |
V\fe<(Rh) |
изометрично, |
(35) можно перепи |
|||||||||
сать |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
и требовалось |
доказать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Следствие. |
При | < > £ т ] + ^ . |
на W2K |
( |
) |
определен |
огра |
||||||||
ниченный |
оператор |
вложения |
|
|
|
|
|
|
х |
|
|||||
'• сужение |
которого |
на |
S |
есть |
оператор |
«7о |
. Отождествляя |
каж |
|||||||
дый |
элемент пространства VVZ |
( f t n ) |
• с |
его образом |
при отобра |
||||||||||
жении U |
,'можно |
сказать, |
что при достаточно больших К |
|
|||||||||||
элементы |
W ^ f f t 1 1 |
) |
|
являвтоя |
ограниченными |
непрерывными |
функ- |
||||||||
- 82 -