Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf

Предложение. При К>Ц ] + £ ,

С C ( , ) (fTJ

производная D ^ - f

совпадает

с

обычной частной

производной функции - f .

Доказательство. Пуоть

к

] + 2 , $ & W e

[Я ) ,

Для того,

чтобы

доказать,

что

2 M ^ £ C ^ ( R h )

достаточно

покавать,

что J o

ограничен как оператор,

действующий

из

W ^ / f t " )

в

( Ч ' ) ( ц * )

^ Е

с л

и | б 5

и

- f -

Фурье-образ функции

-f

то

ft"

Следовательно,

(3?)

Аналогично (35) получаем оценку последнего

члена

в (37):

J I

р*7(р)NР * J1 м 1 (p)Np

* lift*«V7ipi

fr'+O"^p

ft"

причем J - I P l ( p * +

^ )

V

0

3

так как * - 2кг

Итак,

a"

первая часть предложения доказана. Вторую часть

предложения моь-

но

сформулировать

в виде

соотношения

3 3 ) ™ =

- Ь т 3

,

которое,

очовидно,

выполняется на множестве

Ъ

, плотном в

V/£ [Hbj

Доказательство

завершено.

§ 8.

^

-

функция

Дирака,

£ ^

- Функцией Дирака называется

функционал на C ^ R h ) ,

который каждой функции

ставит в соответствие

ее вначеаие

в

точке ^ € R h

. Функционал

^

принадлежит пространству

[ C | R " ) ] *

, оопряжеикс-у к

C ( R h ) ;

По теореме вложения Соболева сужение функционала &f

н

W^] + '

(а*1) принадлежит W~^ ] ~'(Я h )

В дальнейшем

обобщенную функцию &у J

1 ^ n j < Таким обраэом, мы принима

<

г

• Определение. 0^

- функцией Дирака называется элемент пр

ранства

, определяемый формулой

ft"

rf

Найдем Фурье-обра8

©у - функции. Пользуяоь равенством

где 5^ = F S ^ > У = Ff

С другой стороны

6 3

£

N V £ M + J f o h )

Таким образом, 0$

определяется как функционал на Wa

формулой;

R*

ft"

i

которую обычно записывают в виде;

'*

(38)

Для вычисления Фурье-прообраза функции

наи понадобится

Лемма. Фурье-прообраз \Р

абсолютно интегрируемой на RM

кусочно-непрерывной функции

Ц> б W*(R b j

можно вычислить п

формуле (152 ).

Доказательство. Пусть

\

- последовательность функций

из S

1 сходящаяся к

п 0

норме W^R")

и Р"'^<1

Требуется доказать, что V*pG S

^

i "*

ft"

ft"

или,

меняя в

(39) порядокok интегинтегрирования:

•

Равенство (40) можно переписать в виде

frm. J ? (р)Г(-р) dР = f Y(Р)f(-(О dР ,

113

сходится к ' 6^ по норме YYji

\f\ J

Обобщенная функция <$o

называется просто £> - функцией и

обозначается символом б*

. Й8 определения 5^

функции следует,

что

К11

I Г* I

а

Если

Ч Of V - последовательность функций из «J

, сход

щаяся к

о - функции по норме

Wi

[Hit то последовател

ность функций \

фундаментальная по норме

Wp

г

сходится к

обобщенно

функции 5\

:

ных на R

.

^

Предложение. С 0

h

плотно в

W^R")

Прежде всего залетим, что

Доказательство.

(ft )

прячем

ll"F!lv/gK|

Поскольку

3 плотно в W£k

(ft h )j

, достаточно показать, что для любых

i

существует такая последовательность | У: | функ-

пж!1вСГ(Яи)

.что

femlll-yiMw,"550

Пуо» \|^еСГ1Яг')

,

* i > ¥

- одедуючая функция:

• f t H = f W % W

Имеем:

Дифференцируя произведение

-f i •=-'К.)<

t убеждаемся, что по­

при •>£-*• сю

, поскольку функция

следний интеграл ограничен

(

функции, а производные функции

ограничены равномерно по I

Учитывая, что

&W

m a x

{ ? ( * ) ) = О, V f

получаем:

что и требовалось доказать.

Из доказанного предложения следует, что для задания обоб­

щенной функции из WjT *

h

достаточно определить ее как

функционал на

Со

линеЛный ограниченный

| ft

I

Определение. Плоской волной называется линейный фунмщовал

"feu

на

С ( И

в в д а

где | £

R

1

}

a>t Rn

- вектор единичной длины ? У^'* -

ортогональное преобразование пространсгва HJp

^ . варйво^^--:.

О» в Г I ,

6,

0),

•

"

~ = 89 -