Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf

3

где

Wife*),

% J*

на

оператор умножения

независимую переменную в

(к")

у7 ft - Фурье-обравы функций

}Р

н у;

соответственно.

Если с/ft:) -~- решение задачи ( 3 ) , (*) , то

l/(t)*-F~.'tfft

решение задачи ( I ) , (2) о

^f&JsC

- Рассмотрим два оператора •

(tf ж АГ

(6) ,

зависящие

ох параметра

Р >0

и определенные формулами

»;

CH/p/tjMj

A

^

А, (*ШР) =

Аг

(*)J(P)

v

_

/Р/

/(/>);

U

S

Оператор А^ (£)

, очевидно, ограничен в Wa

(Р/Щ* любом i

Покажемf что оператор

А± (&) ограничен

как оператор,

дейотвую-

*

щий ив

*(&*)ъ Щ*(РЛ)>

Действительно,

пусть

Следовавельно, / / A i f f l / l t f t - t -

C^f ^

так функция

J

/Р/

ограничена при фиксированном zf

Поскольку ]Р €

rfi

¥€

'(&"),

следующая формула

определяет функцию

U

со значениями в пространстве

W[ (Р )

Щ = й & У / А г Р ) ? Ь

(5)

где операторы Atfe).

и А2 ft) определены формулами

Aid)

JO

= '//>/ 'i*r/p/t

• /(/>) j

(7)

Alft)J(p)

= C*/P/£'S(P)

j

y&s

(8)

Действительно,

пусть

"и(t'—

— — : — ^

у 1 =

<>2-

Иа неравенств

6*" //A:A (t)-A'£ft)//wt

~* Wt:1

°'

n —* о

•t™//AL«

ft)-^ft)/lwt<-

" °J

f ~ WftJV+AKt)

V -

= 0...

Покажем, ч*о

fl/ijft)

V

~

@

Пусяь £ - поло-

тигельное число. Выберем такой элемент %

пространства С?(

чтобы выполнялось неравенство