Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf

Скачать файл (3,58Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 65

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

по порыв ЦуЦг =	J//<PP)E* o/i
.	(15)

Задача. Проверять выполнение неравенства треугольника для норны (15).

Теорема 2. Пространство ^/.^ можно отождествить с прост

ранством // * , сопряженным к	И К	, поставив в^ соответствие
каждой непрерывной функции J€	Н_К	функционал J€. Н К , опр
деленный на множестве непрерывных функций из /•/ формулой

0	А" .	f
Доказательство. Функционал,		j , определенный формулой (16)
ограничен. Действительно,
№	I №№](*)[у	®]	I £


°	= /////М/		°	°
Более того, /////		- ////J	, Действительно,	определим функции
£	оо значениями в у/* f/> "J формулой
Тогда JfC*)/^		= №)//w_k	ш при атом

так что

Остается покавать, что всякий линейный ограниченный функционал из пространства // * имеет вид (16). Скалярное произведение

НО -

имеет вид

По теореме Риоса-Фреве для каждого функционала j€ //^ найдется такая функция 2/ из пространства //_^ , что

для любой непрерывной функции У €.				интеграл, стоящий в
правой части,		понимается как
где	Ъ/уz	2/	и УЪ£'у - последовательность непрерывных
функций.	Пусть		Уу ft)= f-A+tft^-fe)-	функция со значениями

т.

так что		у
ал ч'хи
/ Ф	=	^	fo/tjYm)j(*)r/y(t)JM°/«
Так ъаъ/Уу ~fej/-//ty			то последовательность	'////
фундаментальна и определяет некоторый элемент^ У				пространства
Теорема доказана.
Еоли I/		непрерывная функция оо значениями /		,
то функция		непрерывна и как функция со значениями
где А	к . При этом, очевидно, что
Поэтому при k't-M имеет место вложение //* <^
Решение		U задачи Коми	( I ) , (2) с непрернь^	'"*аты)
, построенное в предыдущем параграфе, является фу&.-.. :- *
прерывной как функция со значениями
		- I l l	-

Следовательно
Теорема 3.	Решение задача Кои ( I ) , (2) , принадлежащее
пространству fJt	, единственно.
Доказательство.		В оилу линейности 8вдачн Коши нам доотаточно
доказать, что решение		Ъ/ задачи

принадлежащее пространству /4^ , равно 0. Пуоть решение У


задачи	(16) - дважды дифференцируемая функция оо значениями
/	» где /с£ i-1	. Из Об1) следует, что		вто
рая проиаводная функции 2/		Непрерывна как функция оо		вначе-
	. Обозначим черев' £->		оператор, действувджй

ив Мк-г по формуле

область определения которого » / £ )				оостоит ив таких дважды
дифференцируемых функций			Ъ~ , что	& (о) =•	д~ Уо) ~ Oj
I функция Ту* непрерывна как функция оо значениями в W
Функция	U	удовлетворяет	уравнению	L М=о	, Пусть 2г€2>(1)сНА
в пуоть	ьсг	- дважды непрерывная дифференцируемая функция из Hi-*.

, удовлетворяющая условию ИГ(*Г)= lcr'fr)=0. Имеем:

- 112 -

Интегрируя два pasa по частям, получаем:

А"

у3
6	£»
следовательно, оператор и			является расширением оператора
*р- / j /	^ ^	, действувщего по формуле
	TUTft)	= ЬСГ'Ф -A		Wft)
с областью определения 2> (т)			, состоящей из дважды непрерывно
дифференцируемых функций Ъ(Г				, удовлетворяющих условию
Zd~{7')=	'b<Jr'(7')=	о . По теореме 12 гл. П задача сведена к

доказательству теоремы существования для ведачи Ноши


Более точно: нужно показать, что для любой функции f						из не-
г которого плотного		множества существует дважды непрерывно
дифференцируемое	(как. функция со значениями i				)	решение
задачи (17). Из результатов предыдущего параграфа следует, что
требуемое решение задачи (17)			существует, если Г		- непрерыв
ная функция со значениями в			Wife").	Осзаетоя убедиться,что
множество непрерывных функций оо значениями в					плотно
в пространстве	Hg	% иными словами, что '/*'i+i			плотно в
Пуоть 6 ... - положительное число, У				- непрерывная на /~3 УJ
функция оо значениями в Wz			. Покажем, что найдется такая
непрерывная на	Го/	функция j£ со значениями в				W2	/,

113 -

Для доказательства последнего неравенства мы воспользуемся следу


ющим утверждением: если Jft), t££otTj			- непрерывная функция со
значениями в банаховом пространстве			&	, то она равномерно
непрерывна, т.е. для каждого € т о				существует	5(<^^так,
4 1 0 //JftJ-fftz)//*	^ при	- г ^ / ^ <f		Для	доказатель

ства этого утверждения нужно дословно повторить рассуждения ив ной (доказывается в курсе математического анализа) теоремы Кан тора о равномерной непрерывности непрерывной на компакте функц

Выберем теперь $		настолько малым, что	7&<)$tytfe"^4
при /tf	—£г/X. S	, Далее, возьмем разбиение отрезка 2~о 77Ji
& = o<L	^ tz A ... ^ ik = T для которого - ?г-£ ^ & . Пусть
Р	(=1 •••,*)§ъюя№. из пространства		(£-") для
которых //fftcj~p		(tif/vV?Возможность выбора функ
ций fc(>0 следует не плотности пространства			£ w/t^)