Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 68

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Таким образом, действительно, S

- решение уравнения Гамил

тона-Якоби. В геометрии функции Sfq^)

называют геодезическим

расстоянием, в оптике эйконалом. В рассмотренном выше случае н

чальная точна ((t°)^b)

была фиксирована. Можно было бы рассм

несколько более общий случай. Именно,

рассмотрим в h+ J -

ме

пространстве

(<t,"t ) множество точек JVj^

 

 

. -fc-t(S,,...,SK )

 

 

 

 

1

= 2.1 Si,...

 

 

 

 

S — fSi,...,Stc)

- принадлежит некоторой области к

-мерного

 

пространства.

Далее, рассмотрим экстремали функционала (65),

од

конец которых принадлежит множеству М

, а другой находитоя

точке (ifi) . Подставляя эту экстремаль в функционал (65),

мы

получаем функции Sfat't)

, удовлетворяющую уравнению

Гамильтона-

Якоби. Для того, чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотрет функционал (65) на множестве траекторий, имевших общую начальну

. точку о выбранной экстремалью. Таким образом, мы приходим опя к задаче с фиксированной начальной точкой в пространстве

следовательно,

S(q^)

- решение уравнения Гамильтона-Якоби. Пуст

например,

М

- множество следующего вида Л/./^- г^о» I е

.

Предположим далее, что если точки [Ц.^

принадлежат некотором

компакту Кс

l l h +

'

, то для любой экстремали' чД^О

с ко

в точке

 

 

 

 

Приэтих предположения

очевидно,

что S(4,t)

удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби

1

и нулевому начальному условию. ( Р^ДД ) - непрерывная функция своих аргументов). Аналогичным обраэом можно придти к построени решения задачи Коши для уравнения Гамильтана-Якоби в случае о

"* начального условия. Действительно, рассмотрим функционал;

 

s i o - S c i i W J + j V i t . i . i ' j j t ,

( ? 5 )

где Sf (<].)

- непрерывная функция

 

Воя&мем М то же оаыое, что и в только что рассмотренном ре. Далее, предположим, что экстремали функционала (75) удовл ворят тем же ограничениям, которые были указаны в пример ходи обычным образом от функционала (75) к функции Slit), мы получаем, очевидно, решение эадачи Коши для уравнения Г на-Якоби, о начальным уоловиеш

Изложенная выше свявь между вариационным исчислением и ура Гамильтона-Якоби позволяет находить решения.этих уравнений ( ноотн,решения задачи Коми), используя траектории гамндмоновы оиствм.

- 38 -

 

 

 

ГЛАВА

I I .

 

 

 

 

ЛАГРАНЖВВЫ ПОВЕРХНОСТИ.

 

 

 

 

 

 

 

 

2Ь

 

 

Рассмотрим 2#

- мерное евклидово пространство

А

. Бу-

дем обозначать первые /?

координат точки ХС *

 

черва

Л •»•'•'/>»

*

п о с л е д н и е л

координат -черев /> .,^/>„

 

 

 

 

t

 

 

Рассмотрим некоторую /7

- мерную поверхн^ь /\

в простран­

стве А1*7

, которое впредь будем называть фазовым. Пусть У*

существует такая окрестность 2/х точки Х€ Л

в

А**

что часть //01/х

поверхности //

имеет уравнения

где

- локальные координаты.

Функции (63J

считаем бесконечно дифференцируемыми.

Определение. Поверхность //

называется хвгранжевой ыш

лагранжевын многообразием, если

скобки Лагранжа

 

2

• -j"

 

равны нулю.

Y^j £ = *, j •

 

Задача. Доказать, что условие /<Э, f\m ,-0

не зависит от

выбора локальных координат.

 

 

Теорема 7.

Пусть / ~

- замкнутый суть на

А , целиком

лежащий в некоторой окрестности 1/х а непрерывно стягиваемый в точку. Тогда

г

Доказательство. Очевидно, что

- 39 -

11-

 

 

 

г

„

г*

 

где

- прообраз /~*

при отображении (tljЛ.ъ равенс

нули скобок Лагранжа непосредственно следует, что

Тождество (бб)

означает, что подинтегральное выражение в

вой части (б S~J является полным дифференциалом.

 

Теорема доказана.

 

 

Пример. Поверхность /J

, эаданная уравнением

 

/>=

S€

С"ft")

б*)

является лагранжевой. Действительно, в качеству глобальных динат на /1 можно выбрать р : при атом

На поверхности f 67j

/-

 

~

 

 

 

для любого замкнутого пути

'

 

 

 

Задача.

Показать,

что

для любого

замкнутого

пути /

на

лагранневой

поверхности,

непрерывного

стягиваемого

в точку

 

- 40 -

•

r

 

Условие Я -мерности поверхности //

в фазовом простран­

стве,

локально определяемой уравнениями

можно записать

виде

 

 

 

4t«)

 

. . . . .

•dot,

 

7>/°t fit)

- / ?

Эо(,

 

do(t

Й8 уоловия ^"«^ вытекает, что окрестность каждой точки по­

верхности А

взаимно-однозначно проектируется на одну из

С2»

-мерных координатных плоскостей вида

1=

Р =

V*

У*'

 

 

Относительно лагранжевых поверхностей можно утверждать большее. Теорема 8. Для любой точки X лагранжевой поверхности

/I найдутся такая ее окрестность &Х и такая СХп Л - ная плоскость /7 в фазовом пространстве вида

что проектирование &х на /7 есть взаимно-однозначное бражение, обратное к которому бесконечно дифференцируемо.

Доказательство. Пусть в окрестности точки X поверхность А задается уравнениями

- hi -

причем / = (fit*')Р(<*<•)) . Обозначим;

 

 

 

 

\7

 

 

 

 

 

Пусть

А

- блочная матрица, составленная из А и С

:

По условию />а/1^А = Я

.Из теоремы о неявных функциях с

дует, что для доказательства данной теоремы достаточно

ус

вить существование такой перестановки .

tn

чиоел

 

.

 

, что система строк матрицы А

о номерам

<••••»*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_

.

.

л"нейно независима. Если

 

fAfijS

= л

 

или гА/з^З=0

, следовательно,

Рй/т^С-^

то утверждение теоремы тривиально. Пусть

^А^/З^Р, обб

Без уменьшения общности предположим,

что первые Р

отро

матрицы S

линейно независимы. Пусть Aj

- матрица,

сост

ящая 18 А первых строк матрицы А

и

/>-ле

последних с

матрицы ?

. Если f*A/iJ Ах = /> , то теорема доказана.

Покажем, что предположение

PAfiJ

Aj

 

ведет в

воречию. Действительно, не уменьшая общности, можно предпол что первые /?.-1 строк матрицы А линейно независимы что квадратная матрица 2> = (о/;/) , составленная из первых

ст;ок матрицы Ал из первых

строк матрицы С ', нев

рождена. Тогда каждая строка матриц)} А

является линейн

комбинацией строк матрицы 2)

 

А"

42 -

Смотрите также файлы