Файл: Воробьев, Е. М. Уравнения математической физики (некоторые вопросы, связанные с уравнением Гамильтона-Якоби и волновым уравнением) учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
где интеграл в правой части (Sf) берется по пути, лежащему
а
: г .
р
В качестве пути интегрирования в интеграле (гу выберем пут оостоящий из отрезка
и произвольного пути ^ |
, лежащего в /7 |
-мерной плоскости |
|||
и соединяющего точки /Тг; ^ |
|
и ^ ^ |
• Вдоль пути ^ |
||
• |
П 0 8 1 0 И У |
|
' |
' |
|
.'•'••>." |
• • |
^ последний интеграл в (^5^3 беретоя вдоль пути, лежащего на Покажем, что интеграл
равен интегралу в правой части формулы фо) . В самом деле,
Далее/ |
О % У/ |
по определению |
'функции /7. ^/У^ф)'^А^^^о |
определению |
|
поверхности А& |
и |
|
WKrJ J |
1Шлй I |
|
•м -
в силу системы Гамильтона. Доказательство завершено. Равенство ^fy*) « ^Ср.'^ я п о л УЧ б Н Н О в следствие
теоремы I I выражают основной результат теории уравнения Гамиль на-Якоби. А именно: решение задачи Коши f t ) , (г) эквивалентно на
нию семейства лаграажевых поверхностей /1* |
(при этом нужн |
||
еще знать значения отображения |
хотя бы в одной точке |
||
§ 7. Преобразование Лежандра. |
|
|
|
Определение. VOGIKOH/У |
|
функции J ^ " |
,определенной |
в окрестности точки |
, называется класс функций, каж |
||
дая иэ которых совпадает с |
^ |
в некоторой окрестности точк |
|
р.. Пусть функция v/ бесконечно дифференцируема в окрестности точки
Тогда отображение |
|
нН§р£ ^ |
|
обратимо в некоторой окрестности точки |
/ ° ° ~ ~ |
/ ^ |
|
Определим в окрестности точки />а |
функцию У |
по формуле |
|
где £ fioj -бесконечно дифференцируемая вектор-функция, опреде ленная неявно в окрестности точки JD" формулой
Определение. Преобразованием Лежандра называется отображе
ние, переводящее росток |
/*7д/ |
в росток f^ V^C^-jJ |
fj? |
|
мы будем пользоваться |
|
^^ р'J^fpjy = |
||
|
обозначением |
|
|
|
Замечание. Данное определение корректно, так как еоли
функции Г и 7^ |
оовпадавт |
в окрестности точки ^ |
, то |
||
У Г(р)= VJ^fp) |
л |
Функции Г, 9~ |
совпадают в некоторой |
||
окреотнооти точки |
Р |
?~rf) |
|
|
|
Замечательной особенностью преобразования Лежандра являетоя |
|||||
его идемпотентность: |
|
|
|
||
Zfzfr.tfJ'
В оамои деле, пусть <Z fc?J |
|
ZfefJ |
= |
|
||||
Докажем прежде воего, |
что |
А '= // ^ / |
J , |
_ |
. . |
|
||
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
/' = д- гсо = д . (/) + |
Яф-&0 -£ */ гОЮЩ- |
% |
||||||
Очевидно, что |
=• о |
Следовательно, |
VГ{f |
{/>))^ 7Г(у,) = |
|
|||
так что равенство (33J |
принимает вид |
= |
ft- |
|
|
|||
Пусть |
- вектор-функция, определенная неявно в окрес |
|||||||
ности точки р |
формулой |
|
|
|
|
|
||
|
|
?rem))-1 |
|
|
|
|
|
|
гак что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Совершенно аналогично тому, |
как было получено равенство (3$) |
|
||||||
получаем, |
дифференцируя |
|
, следующее тождество, |
справедливое |
||||
для веет |
^ |
, достаточно близких к |
^ |
•' |
|
|
||
|
|
V ГГгГф) |
=}• |
|
- |
got) |
|
|
ос
Полученное тождество по определению @ >) функции /> озна чает, что
так что |
|
fpty) |
s |
у?Г/>ф) |
e |
£ |
^ |
|
Подотавляя |
(foj) |
в (/о/)^ |
|
и пользуясь формулами Ф?) |
||||
приходим |
к тождеству |
Jrfj') |
- ?ffj |
»' справедливому при воех jfc" |
||||
достаточно |
близких к |
^ |
, что |
и требовалось доказать. |
||||
Замечание.Разумеется. можно |
рассматривать преобразование |
|||||||
Лежандра лишь по части аргументов преобразуемой функции, рас
сматривая остальные аргументы как параметры. При этом удобно с тать, что преобразование Лежандра дейотвует на ростки функций, зависящих от всех аргументов (как тех, по которым производится
преобразование, так и параметров). Такое преобразование Лежанд мы будем оаото-использовать в дальнейшем.
§ 8. Преобразование Лежандра и уравнение Гамильтона-Якоби.
€
Рассмотрим функцию , где ре£*,* * Пусть с£ означает преобразование Лежандра по переменным £
( £ |
рассматривается как параметр). Обозначим: |
|
|
2 |
fS/ftOj |
|
|
Найдем связь между производными — ^ |
и |
— ^ |
|
Ив формулы (в и идемпотентности преобразования Лежандра одеду что
J
А . *ш>
Пуоть функция S удовлетворяет уравнению ft) .'
Тогда из (/оъ) следует, что функция *Г . удовлетворяет му уравнению Гамильтона-Якоби:
где
I
Выбирая для гамильтонианов А/ и // стандартные обозначения |
||
аргументов и их порядок так, как это сделано в |
/ е > ? , по |
|
для уравнений |
•одну и ту ае систему Гамильтона: |
|
o/t |
э/> j |
a/t |
Э£ |
Поставим для уравнения |
задачу Коши: |
||
В соответствии с принятыми нами стандартными обозначениями а
ментов функций £ |
и /У будем считать,что начальному условию |
|||
(/о$) отвечает лаграняева поверхность й |
, определяемая ура |
|||
нением: |
^ |
9£f/>J |
. |
|
, |
7 ~ |
<?/> |
|
|
Поверхность- А" |
' : диффеоморфно проектируется на плоскость |
|||
Пусть при £ufbjTJ |
для лагранаевых поверхностей й , полу |
|||
чаемые из А. |
сдвигом вдоль траекторий системы Гамильтона, |
|||
ответствующей гамильтониану //.- |
а:=/<ш |
(см.замечание |
||
после |
теоремы 9), отображение проектирования //£ на плоскос |
|||
•Q = о |
такае есть диффеоморфизм, |
причем |
||
Тогда |
7^ |
- решение задачи (/об) , |
^о<?) существует и име |
|
ет место формула |
ft,*) |
|
||
где Tefo^J вдоль пути интегрированиями функция ^ С ^ )
определяется условием В частности, справедлива^формула
Здесь
fy'/0*) - кажаяЛашбудь точка многообразия |
/ / |
|
/е |
|
j^Cf |
|
и интеграл в (*^&) берется вдоль пути,лежащего на |
А |
|
|
|||
|
диффеоморфно |
про |
||||
Лемма. Пусть лагранкева поверхность А |
|
, |
(^Я," |
^Л= |
|
|
ектируется на плоскость = О и любой замкнутый контур на
непрерывно стягивается в точку. Тогда существует такая функция
, что уравнение поверхности /1 |
есть |
|
Доказательство. Пусть /> = ^Ср) |
- |
уравнение поверхности |
Пользуясь тем, что поверхность А |
лагранжева, легко убедиться |
|
ео 1 Ь
втом, что "у fy)^/ полны" дифференциал. Функцию
можно определить,например, формулой
Если условия доказанной леммы выполнены и, кроме того, |
поверх |
||||||
ность А |
диффеоморфно проектируется на плоскость jf~o |
„ ^ |
|||||
существует также такая функция j$A |
, что поверхность опрэдзт;- |
||||||
ется уравнением |
__ |
|
|
|
|
|
|
(Соображения, по которым мы поставили знак |
з этой фарку |
||||||
стану- .;;гч з |
ладен параграфе), |
фукацйи £ |
и" j |
1 |
" oe;v. |
||