Файл: Белый, Ю. И. Электродинамика учеб. пособие.pdf

Из уравнений.Максвелла

( I I I ) уравнения

для

электростати-.

ки (4), (12) и лагни тое тати;-:.!

(50), (60)

вытекают

как частный

случай.

В технике часто приходится иметь

дело

с электромагнитным

уравнения

Максвелла

приобретают ^вид:

rotfi

= -%

г о Ш

=

(И З )

1 ,

divB

=

о,

divD

?>

гдѳ

В» juH , D» £.Е

,

j" z (.Е +

в

■си ■

) .

Из

(И З )

видно, что

в

области

квазисгационарных полей электри­

ния,

является

менее

существенном и не учитывается.

С помощью-теоремы Гаусса и Остроградского-Гаусса уравне­

ния

Максвелла

( I I I )

можно записать в интегральной форме:

f E d l

= - § т ( BdS,

( Ш )

<pHdl

-J+5 t ]

^BdS

-о ,

сравнима

с тем значением, которое имеют в механике законы

Ньютона.

*

Уравнения (I 12)

называются материальными уравнениями

(уравнениями состояния

среды). Эти уравнения являются менее

общими,

чем уравнения

Максвелла,

т .к . не учитывают ряд свойств

сред.

В

зависимости от

характера

параметров Т , L и о среды

ч

делятся

н а :

1.

однородные,

в которыхТ=СОП3-> £=const, ju-conat .

2.

неоднородные,

для которых имеют место соотношения

T ü IT C x .y .z)

, ju= ji(x ,y ,z ) .

Если эти даранетрь/. не

зависят от

векторов поля, то такие среды

Среды, в которых

Е

зависит

от Е,

называются

сегкетоэлектри-

ками, а в которых ju

зависит

отн-

ферромагнетиками.

Такие

среды называются

нелинейными.

Среды,

в которых

¥ Ц Н,

цІІЕ,

нетоэлектрики, ферромагнетики). Среды,

в которых

или

В

Н, называются анизотропными (например,

плазма

или

феррхт

в постоянном магнитном поле).

Параметры

ц ^

в

этих

слу­

чаях

являются тензорами, т .к ,

свойства

векторов

о

и н

в

различных направлениях различны. Например,

вектор

~й

связан

о

К с помощью тензора

диэлектрической проницаемости:

DX

+

t-I2Ey

+ ^I3Ez ’

Dy

° ^ 2і Ех

+

t 22Ey

+ ^23Ez ’

Dz

" Ь А с

+

t3 2 Ey

+ &ЗэѴ

20.

Закон сохранения энергии для

электромагнитного

полп.

Первым важным следствием,

которое вытекает из системы урав­

нений Максвелла,

является

существование энергии электромаг-'

нитного поля.

Для

того

чтобы получить выражение

для энергии

электромагнитного поля^рассмотрим доказательство теоремы

УмоваПойнтинга. Эта теорема представляет собой

закон

сох­

ранения энергии для электромагнитного поля, с помощью кото­

рого устанавливается связь между энергией электромагнитного

поля, токами и выделяемой

джоулевой теплотой. Для этого рас­

смотрим замкнутую систему,

состоящую из поля и частиц, зани­

мающих объем

V

,

который

ограничен

поверхностью

s

.Обоз­

начим объемную плотность

распределения энергии-

w(r", t) .

Полная энергия поля в объеме получается интегрированием

плотности по

объему:

і

,

W =* j

w(r, t)dV .

V

Закон сохранения энергии для поля при отсутствии зарядов

формально может быть

выражен в форме

(61):

'

“

f t

i

wdV

“■j

? d^

( I I 5 )

(уменьшение энергии $оля в

объеме

ѵ

за единицу

времени

равно потоку электромагнитной энергии через поверхность s

,

ограничивающую объем

ѵ

), либо в дифференциальной

форме

*ийа

(62):

+

dlv?

- 0 .

на Е и

"н

.

В результате,умножения

I уравнения Максвелла

имеем:

ErotH « t Ejjf +

JE -

H tC t-E2)

+

JE

•

Из закона

Ома

(бб)

следует,

что

Е

= Т -

Е

СТ >

G учетом этого получим:

ErotH

=

(£_в2) + £

_

да- СТ

В результате

умножения Л.

уравнения

имеем:

ІТт'п f-t?

—

iiM

ät

—/з

dH

i

d f

. гт2ч

HrotE

—

2 ST “~2

âtC

) .

Разность их равна:

Hrotl-Er.otH=-|

з^С/зН2 + <r_E2) - Л -

+

JE c'r .

Используя формулу

векторного

анализа

( п .І 7 ), получим:

JE СТ= £

+ I 1^(15

+ НВ)

+

dіѵ [S,я] .

Умножив все члены последнего равенства на элемент

объема аѵ,

проинтегрируем по всему объему

ѵ

поля, применив к послед­

нему интегралу теорему Ортроградского-Гаусса,

получим:

ного поля, г .к . других

источников нет. ß этом можно убедиться,

найдя изменение работы в единицу времени, произведенное си­

лами поля над частицами.

В электромагнитном поле на' непод­

вижный

заряд действует

сила

F

■

Ч.(Е +

[ Y\ 3 j )

=

jj>(E7

+ [ѵ ,ь /

)dV ,

Совершенная при этом работа будет равна энергии, которая

превратилась в

теплоту.

Считая заряды непрерывно распреде­

ленными в пространстве, получим:

Ж

j p(E+[v,b] vdV= I jËdV' + I

BdV

= | jËdV .

а т

Работа силы магнитного поля равна нулю, поскольку эта сила

перпендикулярна к скорости частицы. Значит, для электромаг­

нитного

поля имеем:

U

- j JE dV

=

І і

dV

’

1

ГУ

что совпадает с законом Джоуля-Ленца.

При

отсутствии

зарядов уравнение

( I I 6 )

полностью совпа­

дает с уравнением(I15), если обозначить энергию электромаг­

нитного поля-.

W = |

\

(ËD+HB)dV=

| i

(t.E2

+ juH2)dV,

(II?)

а

плотность

потока

энергии

электромагнитного

поля-

^

'?

= \

[ І , н ]

da,

( I I 8)

к о т о р а я характеризуетs

движение

электромагнитной энергии

в пространстве.

С учетом

(I 17) и

(118)

равенство ( I I 6) можно

записать

в

следующем виде:

( Ш )