ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 01.11.2024
Просмотров: 56
Скачиваний: 0
Это есть теорема Умова-Пойнтинга, которая выражает закон сохранения энергии для элѳктромагнитного<поля.
Наряду с энергией электромагнитное поле обладает и им пульсом, плотность которого связана © вектором Пойнтикга
следующим образом:
( 120)
Проведя вычисления так же, как и при выводе закона сохране ния энергии, можно доказать, что имеет место закон сохране ния импульса:
Предсказание теории Ö существовании импульса поля впервые было
.обнаружено в ІЭОІ г. П.Н. Лебедевым, наблюдг. ■ним эксперимен тально световое давление.
Наряду с импульсом поля можно ввести момент импульса;
Можно показать, что для момента импульса электромагнитного поля имеет место закон сохранения, который играет большую роль в процессах атомного масштаба.
Т.О., электромагнитное поле обладает энергией, которая
переносится в пространстве и может превращаться в другие виды
энергии в строго эквивалентных количествах, импульсом, момен |
||
том импульса |
и др. (инерция, масса); все |
это свидетельствует |
о физической |
реальности электромагнитного |
поля как об особой |
виде |
материи, отличной от вещества. Другим видол материи явля |
||||
ется |
вещество,распределенное |
в пространстве дискретным |
образом |
||
21. |
Решение .уравнений Максвелла |
для электромагнитного |
поля. |
||
|
.Уравнения Максвелла |
( I I I ) |
можно записать в более ирос-+ |
||
той форме, воспользовавшись понятием векторного потенциала. |
|||||
Поскольку напряженность электрического поля возникает не |
|||||
только за счет зарядов, |
но |
и за |
счетизменения магнитного |
||
77
поля, она зависит не только от скалярного, но и от векторного потенциала, который вводится совершенно так же, как и в случае стационарных магнитных'полей согласно (74) и (76):
B « r o t A , d l v A = 0 .
Тогда первое уравнение Максвелла можно переписать в форме
|
|
|
r o t (Е + А ) « О- |
|
Из |
этого |
уравнения |
видно, что вектор |
|
|
|
. |
S + А |
|
является |
потенциальным и, следовательно, |
может, быть представлен |
||
в |
виде градиента от |
скалярной функции ^ |
: |
|
К+ А a-gracbj'.
Т.О ., вектор напряженности электрического поля выражается через скалярный и векторный потенциалы следующей формулой: 1
Е и-gradij' - Т . ( I 2 I )
Второй член в правой части этого уравнения учитывает закон электромагнитной индукции Фарадея и обусловливает непотенциаль-
ность электрического |
поля, а поэтому работа, совершаемая полем |
|||||||||
при перемещении заряда между двумя точками, зависит от пути. |
|
|||||||||
Формулы (74), |
(76) и (I2I) |
не дают возможности |
однозначно |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
—Г |
-* |
|
|
ввести потенциалы, исходя из заданных векторов Е и В, т .к . |
|
|||||||||
можно показать, |
что потенциалы |
|
|
|
|
|
|
|||
А1 |
* А |
+ grad |
тс. , |
W' |
|
(122) |
|
|||
описывают то же |
самое |
поле |
Е |
и |
В. Для доказательства |
найдем |
||||
электромагнитное |
поле |
Е«и |
|
описываемое |
потенциалами |
а * и |
^ |
|||
"в* . гоыГ* и |
r o t ( T |
+ grad |
Т е ) |
» rotA + |
r o t grad |
x. »rotA - - |
I? . |
|||
Аналогично: |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
В» — g r a d y - Г ' — grad(<* -Т е ) |
- |
|^(A+gradj)=-grad ' j - A |
=• E |
|
||||||
78
|
Преобразование (122) |
называется |
калибровочным или гра- / |
|||||||||||
дивить!;» |
приоііраоовлаидйі второго |
рода (градиентным преобра- j |
||||||||||||
зованием первого |
рода называется |
преобразование |
вида: |
|
у |
|||||||||
|
|
|
|
• V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
где а |
- |
заряд, |
j l |
- величина,не |
зависящая от координат). |
Поль |
||||||||
зуясь этим произволом в выборе потенциалов, мы можем выбирать |
||||||||||||||
потенциалы с соблюдением определенных дополнительных условий. |
||||||||||||||
Таким дополнительным условием является .условие Лоренца или |
||||||||||||||
кулоновская калибровка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
d ivA |
+ |
'j’ =» 0 . |
|
|
|
|
( 123) |
|
||
Условие Лоренца выбирается в таком виде для того, |
чтобы |
м а к |
||||||||||||
симально упростить уравнение для потенциалов . Для чего рас |
||||||||||||||
смотрим случай |
однородной |
ореды t aconat> ju-const. |
|
|
|
|||||||||
|
Уравнение для скалярного потенциала получается из Чет |
|||||||||||||
вертого |
уравнения |
Максвелла |
с учетом |
выражения |
( I 2I) |
для 1Г: |
||||||||
|
|
f |
d iv ( - g r a d 'j |
- |
А ) |
|
,д ^+ |
^ d l v A |
“ |
“*t |
’ |
|
||
Используя условие |
Лоренца, |
|
окончательно |
уравнение |
для скаляр |
|||||||||
ного |
потенциала будет иметь |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- £ |
• |
|
|
(124) |
|
|
|
Уравнение для векторного потенциала получается из первого |
|||||||||||||
уравнения Максвелла, подставив в это |
уравнение |
выражение |
для |
|||||||||||
Е и |
(Г |
согласно |
равенствам (74) и |
( I 2I): |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r o t ro tA = j x j +£.ju ^ ( - g r a d t ^ - A ) . |
|
|
|
|
||||||||
Преобразовав |
леьую часть |
этого |
уравнения с |
помощью формулы |
||||||||||
(п .ІЗ ), |
получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
~r |
+ g ra d (d lv A + 1j x |
|
* |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
) ., |
|
|
|
||||||
Используя условие Лоренца |
(123), |
окончательно уравнение |
для |
|||||||||||
векторного потенциала принимает |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
. ■ |
|
„г, |
|
- г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О А |
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение (I2A) и (125) являются другой формой элект ромагнитных законов^эквивалентно., у р а м ю ;М а к с в е л л а . Они имеют вид уравнения Даламбера
|
|
При |
|
a-*üc;; |
однородное |
уравнение |
Даламбера |
(волновое |
|||||||||||||
уравнёние). Наконец, если функция |
|
£ |
не |
зависит |
от |
времени, то |
|||||||||||||||
получим уравнение Пуассона. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
■В теории |
дифференциальных уравнений |
доказывается, |
что |
||||||||||||||||
решение уравненйя Даламбера имеет вид; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
гд е .dV=dx’dy’dz* |
- |
V |
|
|
|
|
интегрирования, |
г |
|
|
|||||||||||
элемент объема |
|
|
|||||||||||||||||||
расстояние |
между |
точкой |
интегрирования ( х ' , у ’ ,г)и |
точкой |
( x , y , z ) |
||||||||||||||||
в которой вычисляется значение функции |
.у . |
Функция |
г |
|
харак |
||||||||||||||||
теризует источник, который порождает поле, описываемое функ |
|||||||||||||||||||||
цией |
0 |
.Если временной |
аргумент |
функции |
£ |
равен ь - |
^ |
,то |
|||||||||||||
формула |
(127) |
показывает, |
что значение |
функции |
ф |
в точке х, |
|||||||||||||||
y ,z |
в момент |
времени |
t |
зависит |
от |
значений |
функции |
£ |
. в |
||||||||||||
других |
точках х ^ у 1^ |
1 не в |
тот |
же |
момент |
времени, а |
в |
более |
|||||||||||||
ранние |
моменты |
времени |
t-£ |
, |
причем это |
запаздывание |
во |
||||||||||||||
времени |
равно г / т |
. т .е . |
равно времени |
распространения |
сигнала |
||||||||||||||||
ДВЙЖущеГОСЯ СО СКОРОСТЬЮ |
Ѵ |
ИЗ |
ТОЧКИ X1, у 1, 2 ’ |
в |
точку Х»У |
||||||||||||||||
Выражение |
(127) |
для |
этого |
случая |
называется |
решением с учетом |
|||||||||||||||
запаздывания. Оно описывает волну, распространяющуюся в поло |
|||||||||||||||||||||
жительном направлении |
со |
скоростью |
|
|
ѵ |
. |
Если |
взять |
значение |
||||||||||||
временного |
аргумента |
у £ |
|
равным |
|
t |
+ |
г / т , |
го получим значе |
||||||||||||
ние |
функции |
|
Ф |
в последующие |
моменты |
времени. |
|
|
|
|
|||||||||||
Опережение |
во |
времени |
равно |
г/ѵ |
|
, |
Для этого |
случая |
выражение |
||||||||||||
(127) |
называется |
решение |
с учетом |
опережения. |
Оно |
описывает |
|||||||||||||||
80