Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf

2. Решить систему уравнений

| х + ху2 = 104;

\х — ху = — 16.

3.Решить уравнение

ковой грани, образующей с плоскостью основания угол 60°, равна 16. Найти объем пирамиды.

В а р и а н т Б (Каунасский политехнический институт)

1. Два поезда отправляются одновременно навстречу друг другу со станций А и В, расстояние между которы­ ми 300 км. Первый из них приходит на станцию В на

1 ч раньше, чем второй на станцию А. В то время

как первый делает 250 км, второй проходит 200 км. Най­

60

В а р и а н т 6 (Ленинградский электротехнический институт имени

В. И. Ульянова (Ленина))

1. Перпендикуляры, опущенные из двух вершин пря­ моугольника на его диагональ, разделили ее на 3 равные

части. Большая сторона прямоугольника равна Y 2. Найти другую сторону.

2. Решить уравнение

3.Найти сумму семи членов арифметической прогрес­ сии, 6-й член которой равен 6, а сумма 2 и 5-го членов равна 3.

4.Решить уравнение

Ф lg (Xй — 10х + 25) +■ lg (хг — Ъх 4- 3) = 21g (X — 5) -f

•+ 4 - 1 8 25,

5.Доказать тождество

В а р и а н т 7 (Ленинградский орденов Ленина и Трудового Красного

Знамени горный институт имени Г. В. Плеханова)

3. Решить уравнение

2 sin2* — 7sin х cos х -f- 6 cos2a: = 0.

4. Треугольник со сторонами 9, 10 и 17 ем вращается вокруг высоты, проведенной из вершины его меньшего угла. Определить объем полученного тела вращения.

tg (-£- + *) + tg* — 2 = 0.

4. Площадь равнобедренного треугольника равна S, а угол при вершине а. Вычислить объем тела, образованно­ го вращением этого треугольника около прямой, перпенди­ кулярной к основанию и проходящей через один из его концов.

В а р и а н т 9 (Калининградский технический институт рыбной

промышленности и хозяйства) 1. Упростить выражение

^ ~ х) 3 + Г о - * ) 3. : .

62

2. Решить неравенство

lg(x + 3) + l g x < l g ( x + 8).,

3.Решить систему уравнений

| sin2x + sin4*8y =

*+ у = 75°.

4.Диагональ d прямоугольного параллелепипеда обра­ зует с его боковой гранью угол а; проходящее через эту диагональ и боковое ребро сечение параллелепипеда обра­ зует с той же боковой гранью двугранный угол р. Оп­ ределить боковую поверхность параллелепипеда.

ихолодильной промышленности)

1.Решить систему уравнений

2.Найти модуль комплексного числа

cos a — sin a —cos 3a + sin 3a

4. Основанием пирамиды служит параллелограмм, диа­ гонали которого пересекаются под углом а. Высота пира­ миды проходит через точку пересечения диагоналей осно­ вания и равна Н. Неравные боковые ребра образуют с плоскостью основания углы Р и у. Найти объем пирамиды.

Ва р и а н т 11 (Новосибирский инженерно-строительный институт

имени В. В. Куйбышева)

1.В -основание конуса вписан квадрат, сторона которо­ го равна а. Плоскость, проходящая через вершину конуса

иодну из сторон квадрата, дает в сечении с поверхностью конуса треугольник с углом а при вершине. Найти объем конуса.

2.Решить уравнение

34Х+ 8 — 4 .32ЛГ+5 27 = 0.

3. Решить уравнение

3(1 — sin х) — 1 + cos 2х.

В а р и а н т 12 (Львовский политехнический институт)

1.Ремонт пути проводили две бригады. Каждая из них отремонтировала по 10 км, несмотря на то, что вторая бригада работала на один день меньше первой. Сколько километров пути ремонтировала каждая бригада в день, если обе вместе ремонтировали в день 4,5 км.

2.Решить уравнение ■

log7 (2х — — ) — log7x — log7 (х — 3).

3. Преобразовать в произведение

cosec а — sin а — sec а + cos а 1 + sin а cos а

4. Треугольник вращается вокруг его стороны, приле­ жащей к углам а и Определить поверхность тела вра­ щения, если сторона треугольника, лежащая против угла а, равна а.

64

|/ 3 sin х + 3 cos х = 0.

3. Решить уравнение

* + lg (1 + 2х) = л- lg 5 -f lg 6.

4. В правильной треугольной пирамиде каждое из боко­ вых ребер равно b и наклонено к плоскости основания под углом а. Найти поверхность шара, описанного около пи­ рамиды.

65