Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 48

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2ft2 cos ^45° —

j cos ^45° — y

 

sin^45° — y J cos ^45°— - |) +

 

sin a sin |3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

sin ^45’ i ) c o s ( 4 5 " - i

 

 

 

 

(

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

^2ft2 cos (45° -

-

- j

) cos(45° -

t

~) .

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

--------1------- i--------------- L gj

 

 

 

 

 

 

sin a sin {5

 

sin ( 4 5 ° - ^ - + 45° - f )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ft*1cos (45° — -g") cos ^45° — -y -

a4- 8

 

 

 

 

 

42.

Особенно

плохо

обстоит

дело с решением элемен­

тарных

тригонометрических

неравенств.

 

 

 

Примеры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Решение неравенства sin х < О записывалось

в виде

х > 180°.

неравенство следовало

решать

так. Находим

Заданное

вначале

решение для интервала 0 <

х <

2я.

Как известно,

синус

имеет

отрицательные

значения

при

я <

х < 2я.

Учитывая, что функция sinx

периодическая,

окончательно

получим

 

 

я + 2&я < х < 2я + 2&я.

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Решением

неравенства

sin х >

У~2

 

значе­

 

считали

ние х >

45°.

 

 

 

 

 

 

 

 

у~2

Приведем

правильное решение.

Для

 

sin х = — — при

условии

0 < х <

2я

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

п

 

Зя

 

 

 

 

 

 

 

= — ; * * = — •

 

 

 

53

Следовательно, данному неравенству удовлетворяют все дуги

Зя

- г < * < 4 '

С учетом периодичности функции sin х получим оконча­ тельный ответ

2kn + - < х <

+ 2ku.

Читателю рекомендуется полученное решение пояснить графически.

3)

Неравенство | sin х\ > -Ч,— обычно оставалось н

решенным.

У

Рис. 6

Данное неравенство можно решить следующим образом. Строим график функции у = | sin х | (рис. 6) и отбираем значения х, удовлетворяющие заданному неравенству

kn + < х < + Ы.

43. Какая функция называется периодической и чт такое период функции, обычно абитуриенты знают. Однако их знания формальны, так как с решением - примеров на

54

определение периодов функций они, как правило, не справляются. Например, период функцйи

у = cos 5х — sin 2х

определяется следующим образом:

для cos 5х период 7\ = Юл; для sin 2х период Т2 — 4л,

значит, период данной функции Г = 6л.

Допущены грубые ошибки. Правильное решение таково. Так как период синуса и косинуса равен 2я,

cos 5х — cos (5л: +

2л) = cos 5 (х -|-

Тг =

sin 2л: = sin (2л: + 2л) = sin 2 (х +

я); Т%= л.

Представим периоды

Тх и Т2 в другом виде:

и найдем наименьшее общее кратное чисел 2 и 5. Таким числом является 10.

Следовательно, число Т = 10- ~ — 2я — период дан­

ной функции. .

III.Ошибки по геометрии

44.Нетвердое знание основных теорем геометрии при­ водит к существенным ошибкам в решении задач. Напри­ мер, радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, определяют по формуле, полученной для

равностороннего треугольника; поверхность неправильной пирамиды находят по формуле правильной пирамиды; объем шарового сектора вычисляют по формуле шарового сегмента и т. д. Ошибочно считают:

55

центром окружности, описанной около треугольника,

является точка

пересечения его медиан;

биссектриса

угла,

заключенного между основанием

и боковой стороной

равнобедренного треугольника,

является медианой; биссектрисы в равнобедренном треугольнике делятся

в точке их пересечения в отношении 1 : 2; радиус шара, вписанного в пирамиду, равен одной

трети ее высоты; радиус, проведенный в точку касания шара, вписан­

ного в пирамиду, параллелен основанию пирамиды.

45.Типичной ошибкой является неправильное понима­ ниеусловия задачи. Так, линейным углом двугранного угла, образованного боковой гранью и плоскостью основа­ ния правильной четырехугольной пирамиды, одни считали угол между боковым ребром и стороной основания, дру­ гие— угол между боковым ребром и диагональю основания.

46.Довольно часто задачи решают нерационально, объяснения к чертежу не дают, шаги 'решения не всегда

обосновывают, исследование полученного решения задачи обычно опускают.

47. Абитуриенты в процессе решения задачи нередко линейные и угловые величины, которые по условию не

являются данными, обозначают ^буквами а,

Ь, х, у,

а, |3

и т. д., а затем забывают об этом и окончательный

ответ

выражают через них, т.

е. задачу оставляют

нерешенной.

48. У значительной

части абитуриентов

недостаточно

развиты пространственные представления, что неизбежно приводит к серьезным ошибкам в решении конкурсных задач. Так, многие считают, что телом, полученным от

вращения

треугольника вокруг оси, проходящей через его

вершину

параллельно противоположной стороне, является

цилиндр.

У

некоторых задачи остаются нерешенными,

в частности,

потому что они не могут изобразить угол,

56

образованный диагональю прямоугольного параллелепипеда с его боковой гранью, а также линейный угол двугранного угла, образованного соседними боковыми гранями треуголь­ ной пирамиды.

49. Чертежи к задачам строят небрежно, без соблюде­ ния правил параллельной проекции. Особенно неудачны чертежи, на которых требуется изобразить одно геометри­ ческое тело, вписанное в другое.

ПРИЛОЖЕНИЯ

 

 

 

 

Приложение 1

 

ОБРАЗЦЫ ВАРИАНТОВ ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ

 

 

В а р и а н т

1

 

(Московский институт химического машиностроения)

1.

Упростить

выражение

 

 

I х + 1 i / " х — 1

х + 1 ^ , Iх

Y — 1

х — Y х2 — i'

 

1 У х + 1 ' y & Z ГГ / ' \ x ~ y if iZ Z J ~ x + y i y z r j , ‘

2.

Решить уравнение

 

 

 

log2 [84 -у 2Х(Х~ 3)] =

log2 25 +

2.

3.

Решить уравнение

 

 

sin3 х cos х — cos3 х sin x — 44—

4.Апофема правильной, четырехугольной пирамиды больше ее высоты на т единиц и составляет с ней угол а. Определить боковую поверхность пирамиды.

5.Упростить выражение

2 tg 225° sin 150° + sin2 (180° + х) cos 180°.

В а р и а н т

2

(Минский радиотехнический институт)

1. Решить неравенство

 

log) (** - 3* +

1)

2. Решить уравнение

sin8 х + cos8 х — -44-.

58

3. В конус, у которого угол осевого сечения при вер­ шине равен а, вписан шар радиуса R. Найти объем части конуса, расположенной над шаром.

 

 

В а р и а н т

3

 

 

(Рижский политехнический институт)

 

1. Бассейн наполняется двумя трубами за

10 мин.

Первая

труба заполняет

его на

48 мин скорее,

чем одна

вторая.

За какое

время

каждая труба, действуя

отдельно,

может

наполнить

бассейн?

 

 

2. Упростить выражение

 

 

/ а 2 + 6 а + 9 \~ П а + 3

 

 

 

I a2 -f- а — 6 )

5

 

 

3.

Решить уравнение

 

 

 

 

 

sin2 (х +

я) = 2 sin (х -j- л),

где

0 < л: <

я.

4.

Цилиндр

пересечен

плоскостью,

перпендикулярной

к основанию и отсекающей от

окружности

основания

дугу

а. Диагональ сечения

равна

d и

наклонена к плос­

кости основания под углом р. Определить объем цилиндра.

В а р и а н т 4 (Таллинский политехнический институт)1

1. Найти дробь с числителем, равным 8. Если из зна­ менателя искомой дроби вычесть 3, то новая дробь будет больше дроби, полученной из искомой прибавлением к ее знаменателю числа 11, на 3,5.

59

Смотрите также файлы