Файл: Тупиков, В. А. Ошибки в решении конкурсных задач на вступительных экзаменах по математике.pdf

Скачать файл (2,62Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.11.2024

Просмотров: 44

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

При решении логарифмических уравнений -иногда вы годно использовать формулу

	logaN = \ogamN^.		(3)
Пример 3.	Решить уравнение
log81 х — 2 log3 х -(- 5 log9 х =			1,5.
Р е ш е н и е .	Область допустимых значений неизвестного
х > 0. С помощью формулы		(3) перепишем уравнение в
виде
loggiX — 2 log81x4 +		5 log81A:2 = 1 , 5
или.
loggi* — 8 log81 x -\|-		10 log81 x =	1,5,
отсюда
	3 logsi * =	logsi x = ~ .

От ве т : x = 9.

Нередко встречалось, что при решении уравнений, со держащих логарифмы с разными основаниями, без всякой к тому надобности делался переход к логарифмам при од ном основании. Например, многие сделали такое преобра зование, решая систему

	logs (ху) = 5;
'	К Я . Т = 1-
V	2

Здесь логарифмы приводить к одному основанию не

имело смысла. Убедимся в этом.
Из второго уравнения	системы найдем
Подстановка в первое	уравнение	дает
log2 (2х2) = 5; 2х2= 25;, х2 =		16; х\,2= ± 4.

Очевидно,

Проверкой убеждаемся в правильности полученных решений.

От в е т : (4; 8); ( — 4; — 8).

19. Уравнения и системы уравнений решаются край нерациональными методами.

Примеры.

1) Имеем систему уравнений

I	л-х ---	9;
I	у Ш	= 2.г2.

Абитуриенты решили эту систему следующим образом. Заменили данную систему равносильной ей:

= 2 а 2.

Прологарифмировали каждое из уравнений:

Йз первого уравнения системы нашли

Подстановка во второе уравнение дала

= lg2 ф- 21gx;

lg-v(lg 2 + 2 lg 3) — 21g31gx =								lg 2 lg 3;
	(lg 2 +	2 lg 3 — 2 lg 3) lg x =					lg 2 lg 3;
Нашли	lg 2 lg л: = lg 2 lg 3;				lg л: = lg 3,			x = 3.
		lg 9	__	Ig3*	_	2 lg 3		_	„
	У -
		ig з	-	lg з	-	lg з
О т в е т : x = 3; у — 2.
Следовало же		решать		данную		систему			уравнений так.
Область	допустимых			значений		х	и		у : х > 0 (х Ф 1),
у — любое действительное				число (у =#0).
Второе	уравнение		системы		перепишем в виде

(2xa)^ = 324

или

2У;(х»)а = 324.

Заменив ху на 9, из первого уравнения получим

2у■9а = 324,

отсюда

2* = 4 ; 2> = 22; у = 2.

Подстановка в первое уравнение системы дает

х2 = 9; х — ± . у 9 = ± ; 3.

Значение х — — 3 отбрасываем, так как оно не принад лежит области допустимых значений х.

Итак, х = 3; у — 2.

Надеемся, читатель без труда сможет оценить преиму щество второго способа решения.

2) Система

решалась логарифмированием обеих частей каждого урав нения, т. е.

(х — у — 1) lg 3 = lg 1; (* + y)lg9 = lg 729.

Можно решать проще, без логарифмирования. Предста вим систему в виде

| з*-^-1= 30;

\ 9*+г/ = 93,

отсюда

f х — у — 1 = 0; \ х + у = 3,

следовательно,

х= 2; у = 1.

20.Как показывает опыт вступительных экзаменов среди значительной части поступающих в вузы бытует два диаметрально противоположных мнения относительно про верки полученного решения уравнения. Одни считают, что

проверка должна производиться всегда, а	другие считают
ее необязательной. В действительности же	проверка в	од
них случаях является обязательной и входит в состав		ре
шения уравнения, а в других случаях она	совершенно не
нужна.

Проверка полученного решения уравнения обычно де лается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате следующих преобра зований:

а) при умножении обеих частей уравнения с дробным членами на общий знаменатель, содержащий неизвестное.

Так, умножив все члены уравнения

t - -f

= 0

на (х2—- 1), приобретем посторонний корень х = 1;

б)			при сокращении дробных						членов на		множитель, со
держащий			неизвестное.			Например,			сократив		в уравнении
I 1-----2х = 0				дробь на (х — 9),					получим корень х = 9,
который		является		посторонним;
в)			при взаимном уничтожении подобных членов, содер
жащих		неизвестное			(в знаменателе, или под						знаком ра
дикала, или под знаком логарифма).
Примеры.				в уравнении
I)	Вычеркнув								2
			4л;2'			2	,.я ,			О
					Зха		■х3 +	3xz
второй и четвертый члены,							получим
			4х2— Xs = 0; хг = x-z — 0; х3 = 4.
Корни	X! и х2 — посторонние.
2)	Вычеркнув			в уравнении
			х + 3 У х + 2 + 5 - З у Т + 2 = 0
члены, содержащие радикалы, получим
				х -f- 5 = 0; х = *— 5.
Корень х — — 5 — посторонний.
3)	Вычеркнув			в уравнении
			2 + 4 ~1£ л: + х — 6 —- j- lg = 0
второй и пятый члены,						получим
			х2+ х — 6 = 0; х1= — 3; х2 = 2.
Корень хх = — 3 — посторонний;
г)	при возведении				в четную степень обеих частей урав
нения.		Например,		при возведении в квадрат обеих частей
уравнения			] / 2х — 6 +		]/ х +		4 =	5 появляется посторонний
корень х — 165;									уравнения		lg(x — 1) ф-
д)	при потенцировании. Так, из
+ lg(x -[- 1) = 0,				потенцируя,				получим		\gix2— 1) = 0;

4 В. А. Тупиков

л'2— 1 = \\_х — z t.y 2 . Проверкой убеждаемся, что корень

х — — Y 2 — посторонний.

При каждом из указанных преобразований может прои зойти расширение области допустимых значений неизвест ного, что и обусловливает возможность появления посто ронних корней.

Выявление посторонних корней подстановкой их в данное уравнение часто приводит к большим трудностям, а по этому, где возможно, их выявляют анализом уравнения и полученных решений. В частности, корни, не входящие в область допустимых значений неизвестного, следует отбро сить без проверки. К сожалению, многие абитуриенты не знают этого, а поэтому, как правило, не устанавливают область допустимых значений неизвестного. Более того, аби туриенты часто не видят разницы между корнями урав нения и областью допустимых значений неизвестного.

Необходимо знать, что если область допустимых зна чений неизвестного найдена и при решении уравнения по лучены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, если при этом в процессе решения не нарушалась равносильность уравнений. Если же область допустимых значений неизвестного при преобразованиях данного урав нения не меняется, но равносильность по тем или иным причинам нарушается, то в процессе решения могут поя виться посторонние корни или же, наоборот, корни могут оказаться потерянными.

Пример.	Имеем уравнение	(
	lg2x — l g x = 0.	(1)
Область	допустимых значений	неизвестного х > 0.

После сокращения всех членов данного уравнения на lgx получим

IgA: — 1 = 0,

(2)

откуда

lgje = 1; а: = 10.

При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) потерян корень х — 1, хотя область допустимых значений неизвест ного и осталась прежней.

Если все члены уравнения (2) умножим на lg х, получим уравнение (1). В результате такого преобразования по явится корень х — 1, не удовлетворяющий уравнению (2).


Бывают случаи,		когда	трудно	установить				область до
пустимых	значений	неизвестного,		но		при	решении		явно
нарушается	равносильность уравнений. В						таком случае
проверки не избежать.			что такие		преобразования,				как
Следует иметь в виду,
логарифмирование,		а также умножение и деление уравне
ния на выражение,		содержащее		неизвестное, могут при
вести к сужению области допустимых						значений неизвест
ного, а значит, и к потере корней.
•21. Многие не знают,			когда	множеством решений не
равенства	является	объединение		нескольких				множеств,
а когда их	пересечение.		Например,		решение			неравенства