Файл: Багин, Б. П. Основы статистической динамики одноковшовых экскаваторов обзор.pdf

ной составляющей Zx {t). За частоту пропускания чаще всего принимается частота, при которой амплитудно-частотная ха­ рактеристика (АЧХ) фильтра равна половине значения ее при нулевой частоте [11]. На рис. 4 представлены график частот­ ной характеристики и зависимость частоты пропускания фильтра о)п от параметра (памяти) фильтра.

со>3 сек~'. С другой стороны, влияние машиниста на процесс формирования нагрузки проявляется в частотном диапазоне (о<3 сек~'. Поэтому за низкочастотную составляющую мож­ но принять нагрузку в частотном диапазоне 0<(он^ З сек~', а за высокочастотную —со>3 сект'. Следовательно, частота пропускания в нашем случае о)п = 3 сект'.

На рис. 5, а показаны нормированные корреляционные функции низкочастотной ру(т) и высокочастотной р.г(т) со­

ставляющих случайного процесса нагружения, полученные указанным выше способом для забоя «А».

Аналогичным образом были определены статистические характеристики случайного режима нагружения при разра­ ботке забоя «Б», отличающегося от забоя «А», как отмеча­ лось выше, меньшим коэффициентом разрыхления и представ­ ляющим в основном связную среду. Нормированные, корре­ ляционные функции процесса нагружения для забоя «Б» представлены на рис. 5, б. Численные значения математиче­ ского ожидания и дисперсии нагрузок для забоев «А» и «Б» представлены в табл. 1.

18

Для проверки этого положения корреляционные функции низкочастотной составляющей были определены двумя спо­ собами. Первый — основывался на уравнении (15), в котором известны Кх(т.) и Kz (t), откуда определялось корреляци­ онная функция Ки(т) (рис. 6, кривая /). Второй способ опре­ деления /Сц-(т) заключался в вычислении ее двойным усредне­ нием по множеству и по времени предварительно сглаженных

Рис. 6. Корреляционные функции низкоча­ стотной составляющей процесса:

двойным усреднением по множеству и по време­ ни предварительно сглаженных реализаций

фильтром реализаций X(t). В этом случае выделялся ан­ самбль реализаций т* {t) из ансамбля X(t) с помощью филь­

трации, по которому и определялась корреляционная функ­ ция, представленная кривой 2 на рис. 6. Корреляционные функции Ки (т), вычисленные двумя способами, отличаются друг от друга незначительно, из чего следует важный вывод о практической независимости (в вероятностном смысле) низ­ кочастотной и высокочастотной случайных составляющих.

Представление случайного режима нагружения статисти­ ческой моделью (11), (12) позволяет повысить точность опре­ деления корреляционной функции высокочастотной состав­ ляющей Zx (t). С другой стороны, на основании проведенного статистического анализа удалось охарактеризовать качест­ венно и количественно слагаемые полной дисперсии нагрузки.

Оц —0,65A y; Dz = 0,35Dx.

20

Полученные статистические характеристики — математиче­ ское ожидание mx (t), дисперсия Dx и корреляционные функции низкочастотной ри(т) и высокочастотной рг(т) со­ ставляющих—характеризуют случайный процесс нагру­ жения.

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НАГРУЖЕНИЯ

Корреляционная функция характеризует внутреннюю структуру случайного процесса, общую зависимость значений процесса в некоторый данный момент времени от значений в другой момент времени. Однако физическая интерпретация корреляционной функции случайного процесса во многих слу­ чаях затруднительна. Более удобной и наглядной характери­ стикой стационарного случайного процесса в инженерной практике является спектральная плотность. Спектральная

плотность 5jc(oo) стационарной случайной функции X(t) описывает общую частотную структуру процесса. Поэтому, не­ смотря на то что спектральная плотность не несет о случай­ ном процессе новой информации в вероятностном смысле по сравнению с корреляционной функцией, определение ее яв­ ляется весьма важным. Вычисление оценки спектральной плотности может быть выполнено методом численного преоб­ разования Фурье оценки корреляционной функции.

При практическом определении корреляционной функции в силу ограниченности обрабатываемой информации всегда получают не истинные (теоретические) значения ординат кор­ реляционной функции, а их оценки, которые сами являются случайными величинами. Для уменьшения дисперсии оценки спектральной плотности формулу видоизменяют, добавляя в нее сглаживающую функцию, называемую корреляционным окном. При этом формула в дискретной форме принимает вид [11]:

где /Сс(м-А) — корреляционное окно; АГх(рА)— оценка корреляционной функции;

А — шаг дискретизации; |х = 0, 1 ,2 ..........

Весьма важным в практическом спектральном анализе является выбор оптимального параметра сглаживания спек­ тральной плотности — времени усечения корреляционной

21

функции Туе. В настоящее время не существует приемлемых для инженерной практики аналитических зависимостей, поз­ воляющих теоретически определить оптимальное значение тус. Выбирая Тус достаточно малым, можно существенно умень­ шить дисперсию оценки спектральной плотности. Однако при этом увеличивается смещение оценки спектральной плотности (смещением называется разность между математическим ожиданием оценки спектральной плотности и теоретическим спектром). Причем для уменьшения смещения требуется уве­ личение ТуС. Таким образом, при практическом спектральном анализе для выбора тус необходимо идти на компромисс меж­ ду дисперсией и смещением оценки спектральной плотности путем вычисления оценки спектральной плотности с различ­ ными Тус по алгоритму (18) с выбранным корреляционным окном. Этот метод изложен в работе [11] и назван методом «стягивания окна».

Рис. 7. Оценка пормюровашой спектральной плотности высокочастотной составляющей процесса нагружения при различных значениях времени усечения Ту,- корре­ ляционной функции для забоя «А»

На рис. 7 представлены оценки нормированной спектраль­ ной плотности случайного процесса нагружения, полученные по оценке корреляционной функции pz(r) (см. рис. 5, а) при различных тус. Выбирая тус небольшим, мы получаем малую дисперсию оценки 5 ^ (и), однако смещение Е при этом ве­

лико. И, наоборот, выбирая ту.с большим, получаем большую

математическим ожиданием спектральных оценок при тус, рав­ ном 2,2 и 4,3, и проходит через характерные точки пересе­ чения спектральных оценок с большой дисперсией. Учитывая, что для больших Тус математическое ожидание спектральной оценки стремится к теоретическому спектру [11], принимаем спектральную оценку при тус=1,5. Применение указанного

22