Файл: Корниенко, И. М. Сборник задач по электромагнетизму.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 02.11.2024
Просмотров: 31
Скачиваний: 0
31.Двухпроводная линия и прямоугольная рамка (рис. 2.2)
лежат |
в |
одной плоскости. Определить поток, |
пронизывающий |
|
рамку, |
и |
взаимную |
индуктивность, если а = |
в — с = 0,1 м, |
1 = 1 0 |
м, |
а ток / = |
100 А. |
|
Р е ше н и е
Магнитное поле двухпроводной линии неоднородно. Выделим в рамке площадку ds и определим пронизывающий ее магнитный по ток, создаваемый током одного левого провода,
ds — ldx\ d 0 1 = B\ldx |
2 - х |
Idx; |
|
|
магнитный поток сквозь всю рамку от тока левого провода будет равен
|
И+ Л |
|
|
|
«Л |
+, Ildx |
щ, I I |
, и \ в |
|
2 - х |
- |
In — |
а |
|
|
2 т, |
|
||
а
Аналогично магнитный поток от тока правого провода
Ф.
в + С
с
Складывая оба потока, получаем общий магнитный поток сквозь рамку
0 = 0 ! + 0 2 IsdL in |
(а + в) (в + с) |
2 - |
ас |
4 - Д О - 7100-10 In 4 = 2,77•IQ-4 Вб.
2 п
Нели изменить направление тока в одном из проводов линии, то магнитный поток, сцепляющийся с рамкой, будет равен нулю. . Взаимная индуктивность
М |
Ф |
+ ,/ |
1п |
a t « ( e + t' |
= 2,77-10 |
Г. |
- г --- |
2 л |
------------------ас |
||||
|
/ |
|
|
|
32. По коаксиальному кабелю, оболочка которого служит об ратным проводом, проходит постоянный ток / = 1000 А. Радиус внутренней медной жилы /Д = 2 см, радиус внешней оболочки R2 = 4 см (толщиной этой оболочки пренебрегаем). Построить график распределения индукции и напряженности магнитного по ля в функции от расстояния г точки наблюдения (точки, в кото рой определяется интересующая нас величина) до оси кабеля.
Р е ш е н и е .
Изобразим сечение кабеля (рис. 2.3). Магнитное поле будет
распределено в двух областях: между жилой и оболочкой Я, и внутри жилы Я2. Картина магнитного поля в виде семейства маг нитных липни, имеющих форму окружностей, показана на рисун ке. Такая форма линий вытекает из условий осевой симметрии.
I
Проведем через точку .Ах окружность, концентрическую с магнит ными линиями. Применяя по отношению к пей закон полного тока, получаем
if /У, с/7 = / .'
Так как вслстствпе осевой симметрии Я, везде направлен по каса-
■\
тельной к окружности, то (Я, dl) — 0, cos(H[dl) = 1. Поэтому для данного случая
/У, f dl = /.
Так как Н\ = const по всей длине магнитной линии (также вслед ствие осевой симметрии), то Нх можно вынести за знак интеграла
|
/У, |
dl = |
/, |
|
а далее |
Я]2'л г = |
/, |
|
|
откуда |
|
|||
|
|
|
|
|
/У, « |
/ |
1000 |
159 |
|
2 кг “ 1 - г |
г ’ |
|||
здесь г = в м;
И — в А/м.
32
Для точки А2 внутри жилы, 'применяя закон полного тока для магнитной линии, проведенной через эту точку, имеем
так как контур интегрирования охватывает только часть тока,
/ г~
равную / -yjv . 'г Т
Далее
|
§ H , d l |
= |
(J) Я 2 dl = H,j) dl = |
Н22 л г. |
||
Откуда |
1г2 |
|
|
|
|
|
|
Н, |
|
1000 |
г = |
398000 г. |
|
|
|
|
2л-4-10" |
|||
|
R \ 2 -r |
|
|
|||
Сравним напряженности Нх и Н2 на |
границе раздела сред (при |
|||||
г = |
Ri). |
|
|
|
|
|
|
По Нх |
|
|
|
|
|
|
НЧ„«, |
“ |
= |
7950 |
А/м; |
|
ПО |
# 2 |
|
|
|
|
|
|
/ / 2, |
= |
39,8 -104• 2 -10 -2= 7950 А/м. |
|||
|
/Г-Я, |
|
|
|
|
|
Как и следовало ожидать, величины совпадают.
Для определения магнитной индукции используем соотношение
В — р0 Н,
где
|
Ро — 4 я •1(Н7 Г/м. |
||
Для построения графика составим табл. |
1. |
||
|
|
Таблица 1 |
|
Г |
Н |
В |
|
см |
А/м |
мВб |
|
м2 |
|||
|
|
||
0 |
0 |
0 |
|
2 |
7950 |
10 |
|
2,75 |
5780 |
7,26 |
|
3,3 |
4820 |
6,05 |
|
4 |
3980 |
5,00 |
|
Снаружи внешней оболочки поля нет. |
изменяется |
линейно. |
Внутри жилы (при 0 < г < R) H = f(r) |
||
3 Зак. 10 7 |
___ |
33 |
33. Для условий предыдущей задачи найти потокосцепление и индуктивность кабеля, приходящиеся на осевую длину /0 = 100 м.
Р е ш е н и е Магнитный поток, расположенный между оболочками, будет
|
|
|
|
|
% |
|
|
|
0! |
Bids = j |
Ро H\lqdr |
Ро У |
Г d r _ |
р0 У |
/?2 |
||
2 ъ } |
г |
2т. |
m R\' |
|||||
|
|
k, |
|
|
я. |
|
|
|
Потокосцепление |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И = 01 |
РО У |
Я2 |
|
|
|
|
|
|
2т: Ш/?,' |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Элементарный магнитный поток внутри ждлы |
|
|
||||||
|
йФ2 — |
B 20 s 2 |
- B 20 s2 — |
р0 Hydsz = |
Ро I rlQdr |
|
||
|
2nR\ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Элементарное потокосцепление |
|
|
|
|
|
|||
|
|
d\p2 = |
d Ф‘2 |
\x0IrH0dr |
|
|
||
|
|
2*R\ |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь множитель |
г2 |
|
|
|
|
|
|
|
^ k R'1 выРажает Долю площади жилы, пронизы |
||||||||
ваемую током, сцепленным с рассматриваемым потоком. |
||||||||
Это есть как ‘бы дробное число витков |
(w < |
1), |
на которое |
|||||
надо умножить |
магнитный поток, чтобы |
получить |
'потокосцеп |
|||||
ление.
Полное потокосцепление для внутренней области жилы
я,
^2 = |
Мо У |
Г •з |
л„ __ Мо У R \ __ |
Но ip т |
||
2 я R\ J |
|
2 nR f ' |
8 я |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
Полное потокосцепление кабеля |
|
|
|
|||
|
-ф = гр! + -ф2 = |
РоУ |
|
Я |
1_ |
|
|
|
|
2* |
|
R |
4 |
Индуктивность |
|
|
|
|
|
|
|
- ^ |
— Мо |
Я |
+ |
|
|
|
/ |
|
2 т: |
я |
|
|
34
Подставив числа, получим |
|
|
4 я-10“7- 100-1000 |
|
|
In 2 + |
4 |
= 1,88- IQ-2 86; |
L = 18,8 •10~3- 1000 = |
18,8 |
мкГ. |
34.Определить внешнюю индуктивность двухпроводной линии
(рис. 2.4) при условии, что I » d0» R0.
Р е ш е н и е В этом случае магнитное поле воздушной линии можно рас
сматривать как результат наложения магнитных полей, связанных с током каждого провода в отдельности и обладающих осевой симметрией. Тогда в некоторой точке х, находящейся на прямой ав на расстоянии Rxoт оси провода а, магнитная индукция поля, связанного только с током в проводе а,
В, H'o-f
2тсЯ /
а магнитная индукция поля, связанного с током в проводе в,
R _ |
. М |
вх |
2n(d0- R x) ' |
Магнитная индукция результирующего поля
Вх — Вах + Ввх |
у-о! ( 1 , |
1 |
|
2 к [ Йх |
dQ— Rx |
||
|
35
Магнитный поток, пронизывающий плоскость между осями про водов, на единице длины линии равен
Индуктивность двухпроводной линии
2.3. ЗАДАЧИ ДЛЯ
САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
35. Определить индуктивность катушки, равномерно намотан ной на тороид прямоугольного сечения. Внутренний радиус торо-
ида Ri = |
4 см, наружный |
J?2 = 6 см, |
высота тороида h = 2 см, |
|||
число витков |
w — 1000, относительная магнитная проницаемость |
|||||
р — 80. |
|
|
|
|
|
|
Ответ: L = |
0,131 |
Г. |
|
|
|
|
36. На |
стальное |
кольцо, |
магнитная |
проницаемость |
которого |
|
р = 3000, |
равномерно намотаны две обмотки с числами |
витков |
||||
W\ — 500 |
и а>2 — 700. Сечение кольца |
s = 3,5 см2, средний диа |
||||
метр d = 20см. Найти взаимную индуктивность М катушек, а также энергию магнитного поля внутри кольца при токах Д = 8 А и h — 14 А, когда токи имеют одинаковые направления и когда они направлены в противоположные стороны.
Ответ: М ,= 0,735 Г; W, = 200 Дж; W2= 35,3 Дж.
37. Определить взаимную индуктивность двух параллельных двухпроводных линий, расположенных как показано -на рис. 2.5.
+
Рис. 2.5
Внутренним потоком в проводах пренебречь.
Ответ:
36
3. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СИЛА
3.1. ОЬЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Магнитное ноле индукции В взаимодействует с элементом тока с силой
F . = l[dl-B].
Эта сила перпендикулярна dt и В, Если угол между dl и В равен
нулю, то векторное произведение \di-B} !равп-о нулю и магнитное поле не оказывает механического воздействия на элемент тока
fdl. Сила максимальна, если В и dl взаимно перпендикулярны. На прямолинейный 'проводник с током в однородном магнитном
ноле действует сила
F — BU.
Эта формула справедлива для случая, когда поле по длине про водника равномерно, а ось проводника и вектор индукции взаимно перпендикулярны.
Определение сил в системе, состоящей из п контуров с токами, производится по частной производной от энергии магнитного поля системы по обобщенной координате
F = - |
|
F = < i p |
|
д х ■{/«const |
OX / =const. |
||
|
Первая формула применяется при неизменном потокосцеплении, вторая — при неизменном токе.
Приведенные формулы могут быть применены и к уединенному контуру. Энергия магнитного поля уединенного контура
Wu L P
2
Здесь L — индуктивность контура;
! — некоторое установившееся значение тока г контуре. Если учесть, что потокосцепление контура
ф = и .
то энергию магнитного поля можно определить по формуле
Энергия магнитного поля двух индуктивно связанных контуров
Т |
I I |
I /2 |
w H= b |
^ |
+ b h - ± M i xi2. |
Знак « + » соответствует согласному включению.
Последнюю формулу можно записать через потокосцепления
г |
|
|
|
1V7 _ |
Ml2h |
, |
2 , М1\12 |
( L i h ± M I 2)h |
, |
(L2I2± M h ) 1 2 |
|
2 |
|
‘ |
2 |
|
|
|
2 |
4Й11 I |
'1*2 4 |
|
V 'h 4 |
2 “ ^ |
'“ 2 |
|
Л’= ) |
|
|
|
|
Здесь i|y — полное потокооцепление k-ro контура.
Аналогичное выражение будет иметь место, если магпитосвязаны не два, а п контуров,
1 V 4 'hi •
3.2.ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ
38.Получить выражение для вращающего момента 'прямоуголь ной рамки, состоящей из w витков тонкой проволоки и помещен ной в равномерное магнитное поле с индукцией В так, что ось вра щения рамки перпендикулярна направлению поля в случае, если в каждом проводнике рамки имеется ток I (рис. 3.1).
Р е ш е н и е Силы, действующие на стороны рамки, перпендикулярные оси
вращения, лежат в плоскости рамки, и их вращающий момент
равен нулю. Эта пара сил стремится растянуть рамку.
Сила, действующая на каждый из проводников двух других сторон рамки, равна
у = В11.
38