Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

где обратная

матрица

W - 1 ^ )

существует, ибо W(f) — фунда­

ментальная матрица, имеющая отличный от нуля

det W(t).

Ин­

тегрируя уравнение

(2. 118), получим

'W =

v (*„)+[

W - i ( r ) f ( r ) dx.

(2.119)

Так как принятая форма решения

(2. 112) может

быть

запи­

сана в матричной

форме

x(0 = W(/)v(/),

(2.120)

можно уравнение

(2. 119) переписать в виде

v(/) = W - i(/ 0 )x(/ 0 )+ j

W - i ( t ) f ( t ) r f t .

(2.121)

Объединяя уравнения (2.120) и (2.121), получаем следую­

щую общую форму решения:

t

x(/) = W ( 0 W - i ( * 0 ) x 0 + J

W(/)W-i(t)f(T)rfT,

(2.122)

где

to

x e (/) =

W(/)W - i(* 0 )x(* e )

(2. 123)

дополняющее решение, а

х р ( 0 = j

W ( 0 W - 1 ( t ) f

{x)dx

(2.124)

to

— частное решение.

Пример 2.4.

Найдем

решение неоднородного

уравнения

" 0

г

• М О ]

Г

о

~Х\ (t0) '

х10

>2 (О.

6

*2 (к) .

-*20.

имеющего базис

xi (0

-

х 2 (0 =

t- -2 •

Для этой системы

фундаментальная матрица Вронского имеет вид

W(*)<

3fi

— 2^ - з

Отсюда

— 2ts

— г-2

W ( О - 1

•

— 3^2

*3

'О

*2 (О.

*2

*20.

— 3 —

-

/ 2

- т—1

In т

Т4

In Т

которое после интегрирования

будет иметь вид

/ 2

U

х\ (t)

*3

—

t2J

Г *io

*2 (О

F0

^2

1*20.

•6

— ~

—

tl

t 3 _

ft

t~2

— i

' 0 ) 2 + ^ Г ( 1 п ' ) 2

3(2 — 2*-з

—

- 5 1nf0)

+ ^ ( 1 - 5 In 0

2.3. ПОНИЖЕНИЕ

ПОРЯДКА

СИСТЕМЫ

Если k (k<Cn)

членов

базиса

системы

n-го порядка извест­

ны, то можно оставшиеся

(п — k)

членов

базиса

определить и:*

системы пониженного порядка

(п — k). Рассмотрим построение

системы пониженного

порядка.

2.3. 1. Скалярная

система. Предположим, что известна базис­

ная функция Xi(t)

базиса

Xi(t),

х2(/),...,

xn(t)

скалярной си­

стемы

ct0(/)

d " x ( t )

+

... +

an{t)x{t)

= 0.

(2 - 125)

dt"

Делая замену переменной

J C ( 0 = J C I ( 0 « W .

(2.126)

сводим уравнение (2.125) к виду

o-l (0 £^р-

+

. . . + < ( / ) г {t) = 0.

(2. 127)

уравнения

(2. 127). Это, в свою

очередь, должно

предполагать,

что а*(/) =

0. Таким образом, обозначая

x*(t) =

dz (*)

(2.128)

±±J±L,

сводим уравнение (2.127) к уравнению (п— 1)-го порядка

dr'-lx* (t)

(2. 129)

<{t)-

dt n—l

d^x (t)

x{t)~0

•

dfi.

имеет решение xl(t)=eit.

Принимая Xi(t)

в качестве базисной функции, най­

x(t)

= x1

(t) z

(t)

= eltz

(t),

имеем

!td^z

(t)

„

dz

e l t

— +2ielt

= 0 .

d&

dt

dz

(t)

Полагая, что x* (t) = ——— , получаем

систему более низкого порядка

dt

dx*

(t)

2ix* (t) =

0.

dt

Решая эту систему, находим

x*

(t) = e -lit

Следовательно,

z(t)

x* (t)dt

= —

e~2it

x (t) = xl

(t)z(t)

=

е

и е ~ 2

и

= -

2

2

системы

х ( 0 =

А(/)х(7).

(2.131;

Делаем замену переменной согласно соотношению

x(t)

=

\(t)z(t),

(2.132)

где

(2.133)

V (/)= [ е х , . . . ,

е,-!, хг

(0, е /

+ 1 , . . . , ея ],

причем tj — /-й столбец единичной

матрицы типа пХп,

a xni(t) —

не обращающийся в нуль элемент. Таким образом,

матрица

V(t)—неособая.

Для упрощения

выкладок предположим, что

в нуль не обращается xni(t).

Тогда

"1 О

О

xu(t)

О 1

О

x21(t)

0 0

0

x31{t)

V(*)=

(2.134)

О 0 . . . 1

Хп_1ЛЦ)

1_0 0 . . . О

xnl(t)

Дифференцируя уравнение

(2. 132)

и разрешая его

относи­

тельно z(t), получим

z"W = V - i ( 0 [ x W - V ( * ) z W ] .

(2.135)

Подставляя

уравнения

(2.131) и

(2. 132) в

уравнение

(2. 135), находим

i ( 0 = V - 1 ( 0 [ A ( 0 V ( 0 - V ( 0 ] z ( 0 -

(2. 136)

Полагая, что

К (t) = V - ' (t) [А (О V ( 0 - V (t)],

(2. 137)

приходим к уравнению

z(0 =

K(/)z(*).

(2.138)

Так как базисный вектор Xi(t) известен, решение

уравнения

(2. 138) также известно, а именно:

о

z 1 ( 0 = v - 4 0 x 1 ( 0 =

(2.139)

о

1

Подставляя

это решение

в дифференциальное

уравнение

(2. 138), получим

_ 0

~

~ о -

•

= К

(0

—

•

(2. 140)

0

0

K-iAt)

_ р

_

_ 1

Отсюда видим, что

kln(t)

=

0,

1=\,...,п.

(2. 141)

Разделяя

с учетом уравнения

(2. 141) матрицы в

уравнении

(2. 138) на клетки, будем иметь

-

kn(t)

. . •

* 1 , л М 0

М О

z x (0

—

(2.142)

2 , 1 - 1 (0

(0 -

• ^л—1,я—l(0

* л М 0

МО -

J

W 0

• •

•

^л,л—1(0

М ( 0

МО _

или, в более простой записи,

Г МО ]

ГК3(0; 0 1

X (0 -

(2.143)

_М0 1 0

_ М 0 _

_ М 0 .

М 0 = К а ( 0 М 0 -

(2. 144)

После решения этого уравнения относительно za(t)

можно

для нахождения zn(t) использовать второе из двух

уравнений,

вытекающих из уравнения (2. 143), т. е. уравнение

z „ ( 0 = M 0 M 0 -

(2.145)