Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

заменить условием

J | | A ( 0 | | ^ < o o .

5.83)

Однако

такой

вывод был бы неверен, что вытекает

из фор­

мулируемой

далее

теоремы,

доказываемой

путем

приведения

противоречащего

примера.

Теорема 8.8. Существуют уравнения типа

(8.80)

со

всеми

решениями,

стремящимися при t—»-оо к нулю, и матрицы

A(t),

•обладающие

свойством (8.83), при которых

все решения

урав­

нения

(8. 81)

не являются

ограниченными.

Доказательство. Система

xx(t)

=

•а

0

Xl(tJ

X2(t)

0

sin In t -f- cos In t- •2a

имеет общее решение

о—at

о

*i(0)

_Xt(t)

0

ехр [t sin In/ —2а/]

хг(0)

Поэтому возмущенная система

* 1 (t)

=

( ' — а

0

4- " 0

0"

1zx

(/)"

ч

it)

1 0

sin In/-|-cos In/ — 2a

1

e~at

0

1

z% it).

имеет общее решение

zx

(ty

о—at

zx

(0)

1ч

it)

g(t sin

In t—lat)

I g—т

sin In т tfx gt

sin

In t— lat

4

(0)

Необходимо теперь исследовать, является ли это решение

ограниченным. С этой целью будем анализировать член

z2(t),

порождаемый начальным условием Z i ( 0 ) :

t

z8 (Ok(0)-o = 2r l t t (0 = e( 's , n I n < -2 e '> j

e - ^ ' ^ ' r f t - z ^ O ) .

о

Поскольку функция e-T 3 t n

1 п х

при любых т положительна,

мож­

но записать

2п

te "з

'

е — z sin In т

fa

Г g _ T S l n J n T f l

r t _

А

3

—я

Таким образом,

•z 2 1 (/)>e< ( s i n l n < - 2 a ')

3

—te-^z^O).

Теперь найдем величину V, ограничиваемую сверху значения-

м и е - т 1 5 1 п 1 п ' н а

интервале

\te~*,

_2я

определяет

харак­

te

3 ] , которая

тер

изменения

Zu(t). Произведем

замену

переменной согласно

уравнению

Тогда нижний и верхний пределы интегрирования и значе­

ния

интегрируемой

функции на этих пределах соответственно

будут:

-т sin in Т-

—т sin |(2л—i-) тс 1

. — ж

2я

2. t = t e

3 =<?

л—t

sin

In X

: sin

I (2л—4- ) 14

2*-,

1Л

6 /

J ^ e

2 = e x p

Поскольку

на

исследуемом

интервале

t изменяется

от te~*

до

-

-

1

без

изменения

знака.

3

,

sin In х изменяется от—1 до

Поэтому

на

данном

интервале

2

max

[ e - t s i n i m j ^ ^ e - *

m m [ e - T S i n I n T j = e x p > е х р

- у 1 1 J .

Таким образом, можно принять, что

V =

e

2 .

Отсюда находим

zzl (t) > ехр ^

sin

In / — 2at -

2«

—er%)zx(Q.

t(e 3

Полученное выражение показывает, что z2i{t)

и, следователь­

но, 2 г ( 0 неограниченно возрастают,

если

а <

.

^

2

1

4

Но решение

невозмущенной

системы ограничено только при

2

Следовательно,

при

некотором

а, подчиняющемся условию

1

^

^

1

2

^

^

2

ное значение для последующего

изложения.

Лемма. Переходная

матрица

q>(t, t0) является

неособой на

интервале [to, tf\. В частности,

det <р (t, t0) = ехр { [ tr [A (t)] dx\ ,

(8. 84)

где след матрицы A(t)

определяется как

t r [ A ( / )] =

2 « « W -

(8. 85)

'•Pi

vr

1. <?[(t,t0) = ft

(О

(8. 86)

2. Aat [ d e t < p ( r , / 0 ) ] = y , detcp( 0 (/,g,

(8. 87)

4. A ( r ) = , a2 (t)

(8.

89)

где a,-(^) —• я-матрица-строка.

Следовательно, в этих обозначениях имеем

a i W < P ( ' , ' . ) = ^

(8.

90)

dt

и

det<p( O (M0 ) = 2

al ; (*)det

(8. 94)

<p„(0

или

a„ (t) det cp ( ^ / 0 ) .

(8.

95)

det cp(0 (/, /„) =

Произведя суммирование, найдем

2 det<p/)( (*,*„) =2 M')det<p(U0),

(8.96

или, учитывая уравнение (8. 87),

dt •[det<p(M„)] =

tr[A(*)] det ? (/,/ 0 ) .

(8.

97)

detcp(/,/0) = exp Г tr[A(t)]rfr det<p(/0 ,t0 )= exp

f tx[A{x)]dx

(8. 98)

Теорема 8.9. Если все решения уравнения (8.80)

ограничены,

то при соблюдении условий *

1)

J | | Д ( 0 1 | Л < о о ,

(8. 99)

to

t

(8. 100)

2)

lim J t r [ A ( * ) ] d / > - о о .

все решения уравнения (8.81) также ограничены.

Доказательство. Решение уравнения (8.81)

можно записать

в виде

t

z(/) = x(/) + [ ? ( U 0 ) c p ( / 0 , t ) A ( T ) z ( T ) f l ? T .

(8. 102)

* Если все решения уравнения (8. 80) экспоненциально

ограничены, то при

соблюдении неравенства (8.99) все решения уравнения (8.81)

будут ограни­

чены [10].