Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

det(<p(M0) = exp Jj' tr[A(t)]rftJ

(8. 104)

вытекает, что норма ||ф(/0 ,

т) II = Цф"1 (т, t0) ||

также

ограничена,

если выполняется условие

(8. 100). Следовательно,

существует

такая постоянная си что

H O I K q + q (

||А(т)|| \\z(x)\\dx.

(8.

105)

to

Применяя основную лемму, находим

t

||z (ОН < q

exp

j ' ЦД (t)|| dx.

(8.

106)

t

Отсюда видим, что решение

z(t)

ограничено,

если

j" ||А (т)|| dx

тервале,

если переходный

процесс системы лежит

внутри

заданных

границ на заданном

интервале времени, когда

началь­

вале аналогично определению 8. 1 классической

устойчивости.

Определение 8.4. Линейная система, описываемая однород­

ным уравнением

х(0 = А(0х(0,

(8.107)

называется устойчивой на конечном

интервале

в отношении е, С,

Т, если выполнение

неравенства

х'(/„) х ( / 0

) < е

(8.108)

означает выполнение

неравенства *

х ' ( * ) х ( 0 < С

(8.109)

цесс

системы, устойчивой

в классическом

смысле,

но

неустойчи­

вой

на конечном

интервале.

Заметим,

что

при

одном

выборе

е, С, Т система

может

быть

устойчивой

на

конечном

интервале,

а при другом

•—

неустойчивой.

Ниже приводятся три теоремы, дающие достаточные

условия

устойчивости

на конечном

интервале.

* Следует

отметить, что это определение,

в отличие от определения

(8. 1)

классической устойчивости, имеет в виду переходный процесс системы

по со­

стоянию х(г), а не по выходу

у(г)=С(г)х(г).

Легко,

однако,

видеть, что огра­

ничение по состоянию x(t)

согласно уравнению

(8. 109) можно

использовать

для

получения

ограничения по выходу у (г). Например, принимая

во внимание-

y ( f )=C(i)x (0 ,

имеем

У ' ( 0 У ( 0 = Х ' ( 0 С ' ( 0 С ( * ) Х ( * ) .

где

C'(t)C(t)—симметричная

матрица. Используя

известное в

теории

квад­

ратичных форм неравенство [см. уравнение

(8. 112)]

у ' ( 0 у ( 0 <

W

(t)x'(t)x(t),

где

Amax(0—максимальное

собственное

значение

C'(t)C(t),

и

принимая во*

внимание неравенство (8. 109), имеем:

У' (О У (0 < W

W C .

Теорема 8.10а. Достаточное условие устойчивости

системы

(8. 107) на конечном интервале в отношении

е, С, Т заключает­

ся в том,что

t

^ A f ( t ) r f T < - i - l n - ^ ,

fQ<t<h

+ T,

(8.110)

'о

где км(() — максимальное

собственное

значение симметричной

матрицы

V(t) =

-±-[A(t)

+

A'(t)]

I. I l l )

x'(t)V(t)x(t)^lM(t)

х'

(t)x(t),

(8. 112)

где U (/) — симметричная

матрица,

все собственные

значения

которой Xi (t), i = 1 , . . . , п

действительны.

Дифференцируя скалярную величину x'(t)x(t),

получим

dt [х' (t) х (/)] = х' (/) х [t) - f x ' (/) x (t).

(8. 113)

Поскольку x(t)

—A(t)x(t),

можно

уравнение

(8.113) запи­

сать в виде

[х' (t) х

(t)] = x'

(t) A' (t) x (t) +

x' (*) A [t) x (t) =

dt

= x'(t)

[A'(/) +

A[t)\ x(t) =

2n'(t)U(t)x(t).

114)

Используя неравенство

(8. 112), находим

^ - [ x ' ( / ) x ( / ) j < 2 X ^ ( / ) x ' ( 0 x ( / ) .

(8. 115)

dt

х'(*)х(*)< х'.(/0 )х [Qехр

x)dx

(8.116)

Согласно определению (8. 3) xf(t0)x(t0)

=^е, так что

х'(t) х ( / ) < е е х р 2

[tM{x)dx

(8.117)

Если, следовательно,

ехр 2 \ ) , м (х) dx < --

,

(8.118)

е

то х ' ( П х ( 0 < С .

Принимая во внимание, что неравенство

(8. 118)

получается

С теоремой

8. 10а, формулирующей

достаточные

условия

устойчивости

на

конечном

интервале, тесно связана

следующая

теорема, дающая условия неустойчивости

на конечном

интервале.

Теорема 8.106. Достаточное

условие

неустойчивости

системы

(8. 107) на конечном интервале

времени

состоит в том, что

(8. П9)

где кт(х)—минимальное

собственное

значение

симметричной

матрицы U(Л, определяемой

формулой

(8.111).

Доказательство теоремы

8.106

аналогично

доказательству

теоремы 8. 10а [знак неравенства в выражении (8. 112)

изменяет­

ся на обратный, если вместо максимального

использовать

минимальное собственное значение Km(t)

[4]] и здесь

не приво­

дится.

Чтобы использовать теоремы 8. 10 для исследования устойчи­

вости системы на конечном интервале, необходимо

определить

собственные

значения матрицы

U(t)

как функции

времени. Сле­

теорем встречает

вычислительные

трудности. Если

наиболь­

шее собственное

значение KM(t)

отрицательно,

то

понятие

устойчивой на конечном интервале

системы может

быть опре­

дающие, правда, более грубые оценки ограничения.

Теорема 8.11. Достаточное

условие

устойчивости

системы

(8. 107) на конечном интервале в отношении

е, С, Т заключается

в том, что все главные миноры матрицы

M(0 = r - U ( / ) + - L l n ^ I

(8. 120)

должны быть не отрицательны

на интервале

[to, ^о + Л-

Доказательство. Перепишем здесь для удобства

уравнение

(8. 114), выведенное при доказательстве

теоремы 8. 10:

- ^ [ х ' ( * ) х ( Л ] =

2 х ' ( Л и ( Я х ( Л .

(8. 121)

Предположим, что существует такая положительная

постоян­

ная |Л, что

х' (Л U (Л х (Л <

i*x' (Л х (Л-

(8. 122)

Тогда

— [х' (Л х (Л] <

2j*x' (/) х (Л-

(8.123)

хЧЛх(Л<х'(*о)х(*0 )ехр[21*('-*о)]-

(8- 124)

Так как согласно условию

х'(^0 )х(^0 ) ^ е , можно

записать

х'(Л х (Л <

* ехр [2[х (/_/„)].

(8.125)

Если, следовательно,

[exp[2v.(t-t0)\

= -^-,

(8.126)

то

х ' ( Я х ( Л < С .

(8.127)

Отсюда находим, что значением

ц, обеспечивающим выпол­

нение неравенства (8.127), является

Р = ^гЧт1п —'

^ [ ^ Л + П-

(8-128)

2 (t — to)

е

{» =

— I n — .

(8.129)

Подставляя выражение

(8. 129) в неравенство

(8. 122), по­

лучим

х ' ( Л и ( Л х ( Л < ^ г 1 п —х'(Л)х(Л,

(8.130)

что можно переписать в виде

х'(Л

х(Л>0,

(8.131)

или

х'(ЛМ(Лх(Л > 0.

(8.132)

Принимая во внимание,

что неравенство (8. 132)

справедли­

9

3593

257