Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2024
Просмотров: 204
Скачиваний: 1
нять, анализируя непосредственно матрицу А(^), что существен но уменьшает объем вычислительной работы.
Теорема |
8.12. Достаточным условием |
устойчивости |
системы |
|||
(8. 107) |
на |
конечном |
интервале |
в отношении г, С, Т |
является |
|
условие |
- |
|
|
|
|
|
|
|
t0+r |
|
|
|
|
|
|
\ |
||U(T)||dt |
< - ^ - 1 п |
— . |
(8. 133) |
Доказательство. Доказательство основывается на известном факте, что норма матрицы всегда превосходит ее наибольшее собственное значение, т. е.
|
|
|
|
M ' K I I U ( 0 [ | . |
|
|
(8. 134) |
|||||||
Подставляя |
неравенство |
(8. 134) |
в |
неравенство (8. 117), полу |
||||||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х' |
( 7 ) х ( 0 < е е х р |
|
2 j | | U |
dx . |
|
(8. |
135) |
|||||
Поскольку |
/ £[t0, |
to + T], то |
|
L |
|
t0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 + T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
till dt |
< |
J |
IRtJll dx |
(8.136) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
|
|
|
x ' ( t ) x ( / ) < s |
exp |
|
2t0\T\\V(x)\\dx |
|
|
I. |
137) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
to |
|
|
|
|
|
Если, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
t0 |
+ T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp |
2 |
|
fllU |
ft) dt |
< — , |
(8.138; |
|||||
то |
|
|
|
\'{t) |
x ( 0 < C . |
|
|
(8.139) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вследствие |
равносильности |
неравенств |
(8. 138) и |
(8. |
133) |
|||||||||
теорему можно считать доказанной. |
|
|
|
|
|
|||||||||
Относительная неэффективность |
неравенства |
(8. 134), |
лежа |
|||||||||||
щего в основе |
доказательства |
теоремы 8. 12, |
объясняется |
его |
||||||||||
грубостью, проистекающей из-за того, что норма |
||£/(ХМ1 часто во |
|||||||||||||
много раз превышает |
наибольшее |
собственное |
значение |
|
hM(t). |
|||||||||
Поэтому может случиться, что теорема практически не дает ин формации об устойчивости системы на конечном интервале. При водимые далее числовые примеры иллюстрируют применение всех трех теорем об устойчивости на конечном интервале и дают возможность некоторого суждения об относительной эффектив ности этих теорем.
258
Пример 8.5. Исследуем устойчивость на конечном интервале линейной схемы с постоянными параметрами, показанной на рис. 8. 2. Уравнение в пере менных состояния этой системы имеет вид
|
|
|
|
С; |
2 |
|
н |
(0)1 |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
— 1 |
|
.«2 |
(0)J |
.г'го . |
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
- J |
Ом |
||
|
1 |
|
|
|
|
2 — 1 " |
|
4ZZb- |
||||
U = |
A |
|
|
|
|
|
|
|||||
T ( |
|
|
|
1 |
2_ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 1Гн |
-L |
|
|
|||
Собственные |
значения |
матрицы |
U |
/ 0« |
|
|||||||
|
|
\м = |
3, |
\ т = |
1. |
|
-I- |
|
|
|||
Рассмотрим случай, когда |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
Рис. |
8. 2. |
Схема |
в примере 8. 5 |
|
|
|
I |
n |
— |
= 2 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Применяя теорему 8. 10а, видим, что |
система устойчива |
на |
конечном ин |
|||||||||
тервале, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
J* 3<5fTJ < |
1, |
|
|
|
|
т. е. |
для |
Т < |
|
-—. |
|
|
|
|
|
|
|
|
о
Применение теоремы 8. 106 показывает, что система неустойчива на ко
нечном интервале, если
т. е. для Г > 1.
Следовательно, при е и С, связанных условием I n — = 2 , система из устой-
Е
чивой переходит в неустойчивую на конечном интервале где-то на интервале
( * • •
Пример 8. 6. Предположим, что уравнение Матье
х (t) + (1 — a cos 2t) x(t) — 0
требуется набирать на аналоговой моделирующей установке. Рабочий интер
вал 2я с. Для получения |
хорошей фазовой траектории отношение С/г при |
|||||||
нимается таким, что In С/е=2 . Необходимо |
найти |
ограничение на параметр а„ |
||||||
при котором обеспечивается выбранное значение |
. |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
Запишем уравнение Матье в переменных |
состояния |
|
||||||
хх |
(t) |
0 |
|
|
|
1 |
хг |
(ty |
Х2 |
(0 |
(1—a |
cos 20 |
0 |
*2 |
(t) |
||
Следовательно, |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
А (О |
|
|
|
|
|||
|
- |
a cos |
2t) |
0 |
|
|||
|
|
(1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
~— cos |
2t |
|
|
|
V(t) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
—- .cos |
2t |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
9* |
|
|
|
|
|
|
|
259. |
и собственные значения |
U(t) |
|
|
|
|
|
|
*i,2 = ± |
— |
|
a cos |
2t. |
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
у |
|а| |cos 2t\, |
l |
m |
= |
- |
-j- |а| |cos 2t\, |
1. Применяя теорему 8. 10a, находим |
|
|
||||
t |
|
|
|
|
|
|
— |
|a| |cos 2t\ dv |
< |
1, |
0 < / < 2 я . |
||
Поскольку |
2it |
|
|
|
|
|
t |
|
|
2TJ| rft = 4, |
|||
j" |cos 2%\ dx < |
j" |
|cos |
||||
о
то в предельном случае неравенство принимает вид
|
4 - М ( 4 Х 1 - |
откуда |
1 |
|а| < |
2. Применение теоремы 8.11 требует предварительного определения мат рицы М(г):
_ |
1 |
С |
_ |
' |
Г |
|
|
l n |
|
_ _ a c o s 2 , |
|||
М ( 0 = |
|
|
|
|
1 |
С |
1 |
a cos 2/ |
|
||||
— |
|
— |
In — |
|||
2 |
|
|
|
2Т |
е |
|
Матрица М(/) должна быть полуопределенно положительной, т. е. все ее главные миноры должны быть неотрицательны. Следовательно,
1 С |
— > о , |
0 < / < 7 \ |
|
— |
In |
||
2Т |
|
е |
|
Это неравенство всегда выполняется, так как е, С и Г положительны. Кроме
того,
1 |
С |
V |
/ |
1 |
|
|
\2 |
> 0, 0 < * < Г, |
— |
In — |
) - |
I |
— |
acos27-j |
|||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
С |
> |
— |
Jet] Jcos 2/1. |
|
|
|
— |
In |
— |
||||
Следовательно, |
|
2Т |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|a| < |
1 |
In |
С |
|
|
|
|
|
— |
— |
|||
|
|
|
|
|
|
i |
|
t |
представляет собой предельное неравенство, из которого должно выбираться а. Подставляя принятые значения, получим
1
|о| < — .
л
260
3. Применение |
теоремы 8. 12 |
дает следующий |
результат: |
|
|
||
|
|
2ic |
|
2* |
|
|
|
|
|
f||U(i:)|[dii= f |а| |cos 2x\d% |
< 1. |
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М (4) < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
и |
|
|
|
|а| < — . |
|
|
|
Заметим, |
что |
хотя |
теорема |
8. 10а наиболее |
трудна в |
применении, |
она |
в наименьшей |
степени |
стесняет |
параметр а при |
выбранном |
отношении |
С/г. |
|
С другой стороны, самая простая в применении теорема 8. 12 приводит к наи большему стеснению параметра а.
K(t) |
1 |
|
+ S +1 |
||
Sz |
Рис. В. 3. Сервомеханизм в примере 8. 7
Пример 8. 7. Для сервомеханизма, показанного на рис. 8.3, необходимо определить ограничение на переменный коэффициент усиления K(t), при кото
ром обеспечивается устойчивость сервомеханизма на конечном интервале в
отношении е, С, Т. Полагая, |
что Xi = y |
и х2 = у, получим следующее уравне |
||||
ние этой системы в переменных состояния: |
|
|
||||
'х\ |
|
|
о |
|
|
1 х \ |
Х-2 |
- [ 1 |
_ * ( * ) ] |
- 1 |
-JC2 |
||
Отсюда находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
1 |
K(t) |
U (О |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Собственные значения матрицы U(/) |
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
+—/\+K4t), |
||
М |
2 |
|
|
|||
1т |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица |
|
|
|
|
|
|
|
' 1 |
|
С |
I |
К |
it) |
|
— |
In — |
— |
|||
м ( 0 = |
2Г |
|
г |
2 |
|
V |
1 |
|
|
1 |
С |
|
|
|
К |
it) |
+ 1 |
|||
|
— |
— In — |
||||
|
. 2 |
|
|
27" |
е |
|
261