Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

x(*) = A(*)x(*) + fW.

(2.97)

х (^о) — уо>

аналогичная

теореме

2. 2 системы первого

порядка,

формули­

руется следующим образом.

Теорема 2.

8.

Пусть А(^) —матрица типа

пХп,

все

элементы

которой

ciij(t),

i,

/=1,

2, .. ., п на интервале

[а, Ь]

непрерывны.

Пусть

далее

f(^)—n-вектор с составляющими

fi(t),

i = l , 2,

. . ., п, также

непрерывными на интервале [а, Ь]. Тогда

на интер­

сокого порядка

аналогичен

использованному в разд. 2. 1 для си­

стемы первого

порядка.

В случае системы высокого порядка, описываемой уравнени­

ем (2.84), сопряженное уравнение определяется

как

х*(*)=

- А ' ( * ) х * (t),

(2.98)

— базис сопряженного уравнения (2.

98).

Предполагая, что п независимых

решений \i*(t),

£ = 1 , . . . , п

сопряженного уравнения известны, легко видеть, что

скалярное

[x*'(^)x(0]=x?'f(O, i=l,...,n.

(2.100)

Введя для сопряженной системы фундаментальную

матрицу

Вронского

V/*(t)=s[xl(t),xl(t),...,xl(t)]

(2.101)

и матрицу

q>*(*) = W*'(/),

(2.102)

можно систему" (2. 100) из

п

скалярных

уравнений

записать в

виде одного матричного

уравнения

—

[Ф*(/)х(*)] = Ф*(*Н (t).

(2. 103}

dt

Интегрируя уравнение

(2. 103), получим

t

Ф * ( 0 х ( О = Ф*(*0 )хо

+ | Ф*(тИ {x)dx.

(2.104)

'о

Отсюда находим решение x(t)

неоднородной системы

(2.97)

в следующем виде:

х ^ ) = Ф * - 1 ( Л Ф * ( д х 0 + f Ф*-*у)Ф*(т:)Цх)4х.

(2.105)

to

Так как обратная матрица

Ф*_ 1 (/) существует

для

всех t,

принадлежащих интервалу

[а,

Ь], решение неоднородного

урав­

нения (2.97) определяется

в явном виде

выражением

(2. 105).

2. 2. 5. Свойства решений

неоднородной

системы. Решение не­

однородного уравнения

(2. 97)

связано с решением

однородного

Наиболее важным свойством,

характеризующим

линейные

системы, является свойство

суперпозиции.

Теорема 2. 9. Если реакция равновесной [т. е. с начальным со­

стоянием х (^ 0 )=0]

системы

x(t)

=A(t)x(t)

+ fi(0 есть

х(/) =

= <I>i(^), а реакция

равновесной

системы

x(t)

=A(t)x(t)

Jri2(t)

есть х(^)=Ф2 (^),

то

реакцией

равновесной

системы

х(^) =

= A(t)x(t)+[h(t)+h(t)]

будет

x ( 0 = < M 0 + < M 0 -

Важно отметить, что принцип суперпозиции

справедлив лишь

для линейных равновесных

систем.

Испытание

с целью

обнару­

жения свойства суперпозиции, пожалуй,

наиболее

правильный

стема линейной.

xp(t),

Некоторое

решение

удовлетворяющее

неоднородному

уравнению (2.97),

называется частным

(или вынужденным)

ре­

шением.

Теорема 2. 10.

Каждое решение неоднородной системы (2.97)

можно выразить в виде суммы

x(t) = xc(t) +

xp(t\

(2 Л 06)

где xp(t)

—частное

решение уравнения

(2.97), а хс (/)

—допол­

няющее

(или

свободное)

решение,

удовлетворяющее

однород­

ному уравнению (2.84). Дополняющее

решение может

быть вы-

п

ражено как

х( (/) =

^с, - Х ; ( 1 ) , где

х*(/),

/ = 1 , . . . , п — базис,

a Ci — постоянные,

определяющиеся заданием начальных

усло­

вий х(^ 0 )=х 0 . Справедливо обратное утверждение: каждое

ре­

шение вида (2.106) удовлетворяет уравнению (2.97).

Доказательство. Так как х р (/) удовлетворяет

неоднородному

уравнению, можно написать

xp(t)

=

A(t)xp(t)

+ f(t).

(2.107)

Если x(t)

—некоторое решение

неоднородного

уравнения, то

x(/) =

A(/)x(/) + f [t).

(2.108)

Вычитая

уравнение

(2. 107)

из уравнения

(2. 108),

получим

[х (/) -

хр (/)] = A (/) [х (/) -

хр it)\.

(2. 109)

Вводя

по

определению xc(t)s=x(t)—xp(t)

и

подставляя

его в уравнение (2. 109), видим, что xc(t)

является

решением од­

ражением

хе (/) = Ф * - 1 ( 0 Ф * Л ) х 0 ,

(2.110)

а частное решение •— выражением

t

xp{t)=\<F-l{t)Q>*{x)\{x)dx.

( 2 . Ш )

to

Альтернативным по отношению к методу

сопряженных си­

стем

методом

определения

решения неоднородной системы

(2. 97)

является

метод вариации

параметров.

Этот метод основан

на теореме 2. 10 и

предполагает, что базис

Xi(t), i—l,.

. ., п од­

нородной системы

(2. 84) известен. Решение

ищется в

форме

x ( 0 = V ^(0х,(*),

(2. 112)

/=1

2 г>,(/)хг (/)+2 г>Н0х/(0 =

2

А (/) г;, (*)х, (*) + *(')•

(2-113)

/-1

/=i

Поскольку

x',-(f) = А(/1 )хг -(^),

уравнение

(2.113)

принимает

вид

(2.114)

г-i

или в развернутой

форме

* 1 1

(0 *12

(0

• •

•

xln(i)

A W

* 2 1

(0 *22

(0

• •

•

x2n(t)

v2

(t)

.

(2.

115)

•

• xnn{t)

_

Jvn{t)

_

_ / » ( ' ) _

Определяя п-вектор v(^) как

Л

(0~

« 2 ( 0

v(*)

=

(2.

116)

«„(0

и обозначая через W(£)

фундаментальную

матрицу

решений,

запишем уравнение (2. 115) в виде

W(*)v (0 =

f(*).

(2.

117)

Отсюда находим

У(*) =

У М ( 0 * ( 0 .

(2.

118)