Файл: Д’Анжело, Г. Линейные системы с переменными параметрами. Анализ и синтез.pdf

х ( 0 = е

Г

О

П

П1

Используя теорему Сильвестра,

находим

2 е - ( < - < о ) _ е - 2 ( * - < о )

_ 2 е - ( ' - < . ) + 2 в - 2 < ' - / в '

* Основные формулы матричного

исчисления

а) дифференцирование матрицы

dM/dt

=

{drriij/dt};

(2. 79А)

б) интегрирование

матрицы

§Mdt

=

{$mijdt)

;

(2. 79Б)

в) полиномиальная

матрица

Р ( М ) =

с0 м* + с1 м*-1 + . . .

+ C f t _ i M

+

C f t I ,

(2.79В)

где I — единичная матрица;

г) функции от матрицы:

переменной f(z)

если функция скалярной

определяется

степенным рядом

/(*) = 2

с п

г \

(2. 79Г)

п =0

то

и матричная

функция f(M)

определяется

как

/ ( М )

=

V

СпМп.

(2.79Д)

л = 0

Пример:

ехр М =

I + М +

М2/2! + Мз/3! +

. . . ;

(2. 79Е)

д) представление

функции от матрицы в полиномиальной форме

/ (М) =

фп-ilD)

М * - 1

+

... + (Di/D) М +

(D 0 /D) I,

(2.79Ж)

1

1

Xj

Х2

где

D ••

;

X;—собственные

значения

матрицы;

М (2. 793)

>л-1

'

1

1

(2. 79И)

\П—1

\П — 1

. X л—1

Л1

л 2

v(/) =

x 0 + rv(*).

(2-80)

Применение соотношений

(2.64)

и

(2.67)

к уравнению

(2. 80) дает

У ( * ) - Х л ( 0 = Г Я + 1

У ( / ) .

(2.81)

Используя неравенство (2. 59),

получим

И 0 - х я ( 0 1 | < А л + 1 И 0 | 1 -

(2.82)

В пределе при п—>-со

lim || v ( * ) - x „ (0|| =

0.

(2.83)

Л-ЮО

Следовательно, последовательность (2.61) равномерно схо­

дится на интервале [а, Ь] к v(f), так

что

решение

единственное.

2. 2. 3. Свойства решений однородной системы. Детальное изу­

чение однородной системы

х(*) =

А(/)х(/)

(2. 84)

i = \ . •, п,

(2.85)

^ 1 ( 0 ^ 2 ( 0 • •

(0 _

стемы (2. 84) также является

решением

этой системы.

Доказательство. Допустим,

что Xi ( / ) , . . . ,

xh(t)—решения

однородного уравнения

(2.84). Тогда

х ( 0 =

У

с,х,(')

(2.87)

1=1

также будет решением, в чем

можно

убедиться,

подставив

х(^) в уравнение

(2. 84) и приняв во внимание, что

с,х,(/) =

А ( 0 с /

х , ( 0 , i=h.-.,k.

(2-88)

Теорема 2.5.

Если

вронскиан

detW(^)

решений

(2.85) is

некоторой

точке

U интервала

[а, Ь] обращается в нуль, то ре­

шения линейно зависимы.

Доказательство. Если detW(/i) =0, то

постоянные

векторы

x i ( ^ ) , . . . ,

xn{t{),

являющиеся

столбцами

матрицы

W(/), т. е.

матрицы

решений системы, линейно зависимы. Это

выражается

в том, что можно выбрать такие константы с\, ..., сп,

не все рав­

ные нулю, что

2

CiMh)

= 0.

(2.89)

1-1

Согласно теореме 2. 4 вектор

х(/) =

У

c,xt(t)

(2.90)

=1

я

0,

V C l x , . ( / ) =

(2.91)

т. е. Xi(t),

i=l

i=l,

. . ., п линейно зависимы. Следовательно, соглас­

но

(2.86)

det

W ( / ) = 0 .

Следствие

2.5а. Если функции (2.85) линейно зависимы, то

их

вронскиан

detW(Z) на

интервале

[а, Ь] тождественно

равен

нулю.

Следствие

2. 56- Если

вронскиан,

сформированный из

реше­

рица может быть образована из данной

фундаментальной мат­

рицы Wf (/) и некоторой неособой матрицы К.

Доказательство. Достаточность. Поскольку Wf (/)

— фунда­

ментальная матрица,

она

удовлетворяет

однородному

уравне­

нию (2. 84)

W ^ ^ A ^ W ^ ) .

(2.92)

Умножая

справа

обе

части

уравнения

(2.92)

на

неособую

матрицу К, получим

W / ( y

К A i / ' . W ,

/

К.

(2.93)

Введя по определению

матрицу

W//(/) ==W/(/)K

и

подставив

ее в

уравнение

(2.93), видим,

что W// — также фундаменталь­

ная матрица.

Необходимость.

Рассмотрим

две

фундаметальные

матрицы

W/(/)

и

W//(^)

и

определим

произведение

K(t) =Wy _ 1 (^)W//(/) .

Беря

производную

от K(t),

видим,

что K(t)

=0. Следовательно,

матрица К ( 0 = К — постоянная.

Следствие

2.6. Если

векторы

(2.85)

представляют

собой

я линейно независимых решений однородной системы

(2.84), то

любое

решение

можно

записать

как

линейную

комбинацию

этих решений, т. е.

х(*) = 2 с / М 0 -

(2.94)

Система из п линейно независимых

решений (2. 87) однород­

ного уравнения (2.84),

не подчиненная

конкретным

граничным

условиям, называется

базисом или фундаментальной

системой

зиса, получаем фундаментальную матрицу.

Теорема 2. 7. Базис однородной системы (2.84)

существует.

Доказательство. Выберем некоторую неособую матрицу К ти­

па пХп и систему из п начальных условий

i = l , . . . , п, со­

зует базис.

Большая часть определений и

результатов,

относящихся

к

системе n-го порядка, описываемой уравнением

состояния

(2.84), применима и к скалярной системе n-го порядка

МО-

+ ... + aa(t)y(t)

= 0.

(2. 95)

dtn

Чтобы

избежать

возможных

недоразумений,

необходимо

разъяснить, что означают термины, введенные для

случая

пере­

менных состояния, в

применении

к скалярной

системе.

Базис

или

фундаментальная

система

скалярной

системы

n-го порядка

представляет собой

п скалярных

функций,

а

не

п векторных функций. В частности, базисом

является

некоторая

система

из п линейно независимых функций

X\(t),

x2(t),

.. ., xn(t),

удовлетворяющая однородному уравнению

(2.95),

но

Матрица

Вронского

определяется

базисом и

его

первыми

(п—

1)

производными

х1

(t)

х2 (О

Wtf)

=

(2.96)

x[n-l){t)

xi"-l)(t)

x(r1](t)_

Заметим, что для системы n-го порядка, записанной в кано­

нической форме (2.34), базис получается

дифференцированием

каждого

члена

скалярного

базиса

(п—1)

раз, т. е. член

Xt(t)

скалярного базиса используется для образования

векторного

члена

базиса

канонической

системы* Xi(t) =[xi(t),

х

^ (t),. .

Штрихом обозначена операция транспонирования матрицы (прим.

редак-

тора).