Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf

Поэтому положение точки в пространстве может

быть определено как ее декартовыми координатами, так и тройкой чисел (u; v; w), соответствующей этим ко­ ординатам.

Числа и; v; w называют криволинейными координа­

тами точки М в пространстве.

Приведем геометрическую интерпретацию криволи­ нейных координат (см. рис, 34).

и)

«1 = fi {х-, у; г)w2 = f3 (х; у, z}.

Пусть все эти три поверхности пересекаются в некото­ рой точке М. Тогда тройка чисел (щ щ Wi) и будет кри­ волинейными координатами точки М и при этом пишут:

Л4 (щ, До]), Поверхности!

fi(x, yt г) - с, fs{xty,zY^ 0 и fs(x, у,г")' - о

называются координатными поверхностями. Линия пе­ ресечения двух координатных поверхностей называется

координатной линией. Так, линия пересечения поверх­

ностей f2 (х, у, z) = const и /з (х, у, z) = const определя:-

ет координатную линию и.

73

При перемещении по линии и меняется лишь коорди­ ната и, а координаты v и w остаются постоянными (так

как эта линия есть геометрическое место точек, где и = fi = const и w = f3 = const). Аналогично получают­

ся и две другие координатные линии.

За положительное направление на координатной ли­ нии выбирают направление, в котором данная коорди­ ната возрастает.

В дальнейшем мы будем рассматривать только орто­ гональные криволинейные координаты. Криволинейные координаты называются ортогональными, если в каж­

дой точке пространства все три координатные поверх­ ности пересекаются под прямым углом. Для ортогональ­

ности криволинейной системы координат, определяемой тройкой функций:

« = А ;*( I/; z); п =:f8 (х; у; z); w = f3 (х; у, z),

необходимо и достаточно, чтобы в каждой, точке про­ странства векторы grad fb grad f2 и grad f3 были взаимно перпендикулярны между собой. Это следует непосредст­

74

пространстве точку Mi (хь у\, Zi) (см. рис. 35). Пря­ мая пересечения двух координатных плоскостей опреде­ ляет координатную линию.

§ 2. Цилиндрические и сферические координаты

Приведем два важных примера криволинейных ор­ тогональных координат.

1) Цилиндрические координаты (см. рис. 36).

Определим положение точки М в пространстве при

декартовой системе координат, т. е. является расстояни­

75

Решив систему двух первых уравнений относительно г, <р, получим:

г = У х2 4- у2; arctgесли л:>0;

Координатными поверхностями здесь будут: г =

grad г = grad Ух2 4- У2 и grad ср — grad arct g

76

й установить их перпендикулярность между собой и их

ки М и пишут: М (р;<р;6).

Из рис. 39 непосредствен­ но получаем:

х = р cos <р sin 6;

z = р cos 6.

Решив эту систему уравнений относительно р, ср, 6, получим:

Рис. 39

77

Р = У x!4-r/2 + .*z

arc tg -j-, если x>0;

arc tg -=£- + ir, если x<0;

(из последней формулы очевидно, что угол 0, как глав­

ное значение арккосинуса,- изменяется в пределах от О до тс ).

Координатными поверхностями в сферической систе­

ческая система координат так же, как и цилиндриче­ ская, ортогональна.

координат и, v, w.

Зафиксируем на координатной линии и произволь­ ную точку М (х, у, z). Определим положение_ее ^декар­

товой системе радиусом-вектором r = xi-\-yj-\-zk (см. рис. 40). Тогда дифференциал длины ds координатной линии, очевидно, будет равен: ___________________

rfsa=|rfr| = | dxi-\-dyj -|- dzk \=V(dx)2+ (dt/)2-}-(dz)2

Координаты x, у, z, согласно уравнению (31), зави­ сят от координат и, v, w.

78

dx = ^Tdu = ^Tdu’

dy=-^~du = ^ du'

dz = du du = du du,

и, следовательно:

+ Ш+ «)’■**

Аналогично получаются формулы дифференциалов длин других двух координатных линий:

79