Файл: Никитин, Борис Дмитриевич. Векторный анализ учебное пособие для студентов заочных высших технических учебных заведений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 65
Скачиваний: 0
Здесь Ду • Дг — площадь грани МДС, а Му — некото рая внутренняя точка параллелепипеда: Му (хфОД х;
Уу\ Zi). Аналогичным образом вычисляются потоки и через две другие пары параллельных граней. По гра ням МАД и СВВу;
дЛу(М2> ...
П2=—дГу----- ДуДхДг.
По граням МАВ и ДАуВу:
дА< м3)
АгДлДу,
Где М2 и М3 — некоторые внутренние точки параллеле
пипеда. Поток через всю поверхность параллелепипеда
П =а П1 —П2 “I- П2 и тогда
divA(Al) = lim —.а?—- =hm |
——- |
||||||
|
D(S)-»0 |
bxbykz |
|
D(S)-^0 |
' |
С>х |
|
дАу(М2) |
дАДМз) \ _ дАДМ) |
, |
|
, |
дАДМ) |
||
ду |
"Т" Oz |
J |
дх |
' |
Оу |
' |
OZ |
В последнем равенстве мы воспользовались тем, что |
|||||||
при D(S) |
О внутренние точки Му, М2 |
и |
|
неограни |
|||
ченно приближаются к точке М, а предел непрерывной функции равен ее значению в предельной точке (см.
форм. 15, с).
Пример. Вычислить дивергенцию поля радиуса-век тора:
А = г —;xi -|- уj Д-, zk.
Решение. В нашем случае А х— |
Ау = \', Az—z |
и по |
|||
формуле (17) |
имеем: |
|
|
|
|
.. |
- |
дх. . ду |
. dz |
о |
|
^г-~дд + ~дТ +~д1 =3- |
|
||||
Следовательно, в каждой точке поля радиуса-векто |
|||||
ра имеется источник плотности 3 ед. |
|
|
|||
Из доказанной |
формулы и |
известных правил |
диф |
||
ференцирования легко получить следующие свойства ди вергенции:
div (А^Йа) — div Ay ф- div А2; |
(18) |
36
|
div ср |
A = ср div Д + И grad ср); |
|
(19) |
||||||
|
div |
(r)r = 3/ (г) '4- rf' (г). |
|
(20) |
||||||
Докажем, например, формулу (19). |
|
|
||||||||
Пусть А = Ах г Д- Ayj + А г k |
|
и |
<р (х; |
у, г) |
|
— скалярная |
||||
функция, |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ср А = <рАл;7 + <рАуу+<рАгЛ, |
|
|
|||||||
и по формуле (17) имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
div ’ л ~ Е (f |
|
+ 4 (т |
+ 4 С’’‘4г> “ |
|||||||
=?(с4 + й4 +^) + -4х-4+л»4+л-4 = |
||||||||||
т \ дх |
ду |
' |
dz |
/ |
хдх |
|
У ду |
1 |
дг |
|
|
=cpdivA -р (A gradcp). |
|
|
|||||||
Формула (20) получается из формулы (19) |
|
как частный |
||||||||
случай, когда А—,г и |
ср |
— f |
|
(г) (см. |
пр. 3, |
|
стр. 21). |
|||
Пример. Вычислить дивергенцию поля напряжен |
||||||||||
ности точечного заряда q. |
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Данное поле, как известно, дается век |
||||||||||
тором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е = ~ г, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
г3 |
’ |
|
|
|
|
|
где г — радиус-вектор, |
проведенный |
из |
|
точки, где |
||||||
помещен заряд, в произвольную точку М. |
|
|
||||||||
При вычислении div Е воспользуемся формулой (20). |
||||||||||
В нашем |
случае f(r) = |
и |
|
потому |
|
|
|
|||
div^ = 3^+г(4) =3-^- -34=0.
|
|
г6 |
\ гл / |
г3 |
г3 |
|
|
Таким образом, в любой точке поля, где определен |
|||||||
вектор Е, нет ни источников, ни стоков. В точке, |
где по |
||||||
мещен заряд, это утверждение несправедливо. |
В |
этой |
|||||
точке г = 0, |
Е не |
определено и формула |
(20) |
неприме |
|||
нима. |
§ 3. |
Теорема Остроградского |
|
|
|||
|
|
|
|||||
Теорема Остроградского является одной из |
важней |
||||||
ших теорем |
векторного |
анализа. |
Она |
устанавливает |
|||
связь между |
потоком и |
дивергенцией векторного поля. |
|||||
37
Теорема. Поток векторного поля через замкнутую поверхность S равен тройному интегралу от диверген
ции |
этого |
поля по объему V, ограниченному поверх |
||
ностью S: |
|
|
|
|
|
|
s |
AdS = JJj’dhMdK |
(21) |
|
|
v |
|
|
(Здесь, конечно, предполагается, что во |
всех точках |
|||
объема V поле А |
определено и частные |
производные |
||
дАх |
^у |
дАг |
|
|
~дГ' |
~дГ и "^непрерывны). |
|
||
Доказательство. Выделим в поле |
вектора А |
|||
некоторый объем, |
в каждой точке которого первые про |
|||
изводные проекций Ах„ A v и Az непрерывны.
Пусть S — есть поверхность, ограничивающая объем V. Разобьем объем V на п элементарных объемов Л *1/ и пусть Sk—поверхность, ограничивающая объем A *V (£=.1, 2. ..., п). В каждом объеме A Vk зафиксируем точку
Mk и определим в ней дивергенцию:
ф Ads
— Sk
divX(7W<>) = 11m 'дуг'. D(Sft)-0 k
Написанный здесь предел, согласно теореме § 2 насто ящей главы, существует.
Зафиксируем некоторое число е |
и выберем все D (SJ |
|
настолько малыми, чтобы |
|
|
ф Ads |
|
|
dlvX(Me)- |
8 |
(k = 1,2, ..л, п) |
или: |
|
|
| div A(Afk) A |
— (£Д4/5|<еА1Л. |
|
|
sk |
|
Просуммируем левые и правые части этих неравенств,
тогда получим:
| £ div Д*)ДУ(М |
Й- S jAds | < е V. |
k—1 |
Sh |
38
п_
Заметим, что в сумме (£ Ads все слагаемые, в кото-
рых интегралы берутся по поверхностям Sk, лежащим внутри объема V, взаимно уничтожаются и поэтому
Л (j) |
Ads = |
~Ads. Действительно (см. рис. 20). Пусть |
|
sk |
s |
|
|
S'— общая часть поверхностей объемов |
ДУ] и ДУ2. |
||
Интеграл по |
поверхности S', войдет и в |
интеграл по Si |
|
ив интеграл по S2, но направления внешних нормалей
кS' на поверхностях Sj и S2 будут противоположны,
поэтому интегралы по S' будут равны по |
величине, |
но |
||
противоположны |
по знаку, |
поэтому при |
суммировании |
|
они уничтожаются. |
|
|
|
|
Предыдущее неравенство примет вид: |
|
|
||
п |
_ |
_ __ |
|
|
| S (11уД(№)Д Vk- *AdS\< |
V. |
|
||
k-1 |
|
s |
|
|
Отсюда следует, |
согласно |
определению |
предела, |
что |
lim У div A(Mk) Д Vk = & AdS. |
|
|||
D^° k^ |
i |
|
|
|
Написанный слева предел является, согласно опреде лению (см. форм. 32 с), тройным интегралом по объему
V от функции div А (Л1)^
39
