Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf

15. Производная котангенса

-(И-с‘8г«)Е,

du

sin2 и

(Z(ctg u) =

—(1 + ctg2 u) du.

16.Производная арксинуса

ГЛАВА ПЯТАЯ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

§1. приложение понятия ПРОИЗВОДНОЙ

кИЗУЧЕНИЮ ФУНКЦИЙ

Понятие производной применяется при исследовании про­ цесса изменения функции в зависимости от изменения неза­ висимой переменной. Наиболее важными вопросами при та­ ком исследовании являются: определение промежутков воз­ растания и убывания функции; вычисление ее максимальных

и минимальных значений; установление участков, в которых кривая, изображающая функцию, имеет определенный харак­ тер изгиба — вогнутость вверх или вогнутость вниз; нахожде­ ние точек перегиба кривой и так далее.

§2. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Функция f(x) называется возрастающей в некотором про­ межутке, если в этом промежутке

f(x—|- /г) —f(x) >0 при h^>0,

где h — достаточно малое положительное число, т. е. если большим значениям независимой переменной соответствуют большие значения .функции; если же

—f(x) <0 при /г>0,

то функция называется убывающей.

ria графике функции промежутки возрастания будут соот­ ветствовать тем частям кривой, на которых большим абсцис­ сам соответствуют и большие ординаты.

Другими словами, промежуткам возрастания функции со­ ответствуют те части кривой, в которых точка при движении

по кривой в направлении возрастающих абсцисс поднимается

72 Исследование функций [гл. V

вверх (черт. 26); наоборот, промежуткам убывания соответ­ ствуют части кривой, в которых точка при движении по кри­ вой в направлении возрастающих абсцисс опускается вниз

(черт. 27).

Л

----- -л

О

Черт. 26

§3. ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ

При решении вопроса о возрастании и убывании функций

используется то обстоятельство, что производная, рассматри­

ваемая с механической точки зрения, выражает скорость дви­

жения, а рассматриваемая с геометрической точки зрения — представляет тангенс угла наклона касательной к кривой в- данной точке. Объединяя эти две точки зрения, мы можем применить проведение касательной к кривой для определения скорости возрастания или убы­ вания функции при некотором значении независимой перемен­

ной.

'лать заключение по углу, кото­ рый образует касательная к кривой с положительным на­

правлением оси абсцисс. Под

углом, который образует поло­ жительное направление оси абсцисс с некоторой прямой, понимается тот угол, на который надо повернуть положи­ тельное направление оси абсцисс в положительном направ­ лении, пока» эта ось в первый раз станет параллельной данной прямой.

Как видно из чертежа (черт. 28), в промежутке возраста­

ния касательная к кривой образует с положительным направ­ лением оси абсцисс острый угол а, тангенс которого положи­

телен. Но тангенс угла, образованного касательной с осью

оси абсцисс (черт. 30).

Значение функции, которого она достигает в тот момент, когда характер ее изменения переходит от убывания к возра­ станию, называется минимумом функции.

Таким образом, максимум функции можно определить как такое ее значение, которое больше любых значений, непосред­ ственно предшествующих ему или следующих за ним:

минимум же функции есть такое ее значение, которое меньше

любых ее значений, непосредственно предшествующих ему

или следующих за ним;

Максимум и минимум функции называются экстремумом

функции.

можных значений функции, равно как и минимум не есть не­ обходимо наименьшее из всех возможных значений функции (черт. 31).

Функция может иметь несколько максимумов и несколько

минимумов. При этом некоторые минимумы функции могут

быть больше максимумов (черт. 32).

§5. ПЕРВЫЙ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ МАКСИМУМА

ИМИНИМУМА ФУНКЦИИ

Как найдено выше, в случае максимума или минимума функции, ее первая производная равна нулю. Но одного только равенства нулю первой производной недостаточно для того, чтобы при данном значении независимой переменной функция имела максимум или минимум. Для этого необхо­ димо, чтобы производная при переходе через нуль меняла свой знак: от -ф- к — при максимуме, и от — к -ф при мини­ муме. Если же знак производной при переходе ее через нуль меняться не будет, то функция при данном значении незави­ симой переменной не имеет ни максимума, ни минимума.

1.Находится первая производная /'(х).

2.Выражение первой производной приравнивается нулю, f'(x) — 0, и решается полученное таким образом уравнение; другими словами, находятся те критические значения х, при которых f' (х) обращается в нуль.

3.Исследуется изменение знака производной f'(x) при пе­ реходе через эти значения х. Для этого переменной х в вы­ ражении первой производной даются значения сначала не­

много меньшие, а затем немного большие испытуемого крити­ ческого значения, т. е. (х— h) и (х—|—Л), где h достаточно малое положительное число.

Если при этом окажется, что схема изменения производ­ ной будет -ф- 0—, т. е. производная будет переходить от поло­ жительных значений через нуль к отрицательным значениям, то при данном значении х функция /(х) будет иметь макси­ мум; если схема ивменения производной будет —0+, то при данном значении х функция будет иметь минимум (черт. 33);

чении х функция не будет иметь ни максимума, ни минимума,

причем в первом случае функция возрастает (черт. 34), во

втором — убывает (черт. 35).

Определим, например, максимум и минимум функции

Их)=^-%2 + 2.

Находим первую производную

/' (х) — х2 — 2х.

Приравнивая первую производную нулю и решая получен­ ное таким образом уравнение

х2 — 2х = О,

получим

Xi = 0, %2 -ф- 2.

При этих значениях переменной х функция f(x) может

иметь максимум или минимум. Испытаем первое критическое