Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf

много большее, чем это критическое значение:

(О —/г)2 —2(0—Л) =Л2 + 2/г>0,

(0 + /г)2 — 2(0 + /г) = h2 — 2h = h(h — 2) <0.

Таким образом, мы получили схему +0—; следовательно,

при х = 0 функция имеет максимум.

Испытаем теперь значение х2 — +2:

(2 — /г)2 — 2(2 — h) = (2 —/г)(2 —А —2) = —/г(2 —/г) <0,

(2 +/г)2 —2(2 +/г) = (2 + /г) (2 + h — 2) = /г(2 + h) >0.

Таким образом, мы получили схему —0+; следовательно, при х — + 2 функция имеет минимум (черт. 36).

§ 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Нахождение промежутков возрастания и убывания, а так­

же максимумов и минимумов функции становится особенно наглядным благодаря применению дифференциальных кри­ вых, изображающих производные данной функции.

Найдем, например, промежутки возрастания и убывания, а также максимумы и минимумы функции

f(x) = х3 — Зх2 — 9х + 5.

Производная этой функции равна

f' (х) — Зх2 — 6х — 9.

Вычислим значения функции и ее производной для некото­

рых значений переменной х (табл. 3) и построим как кривую,

изображающую данную функцию, так и дифференциальную кривую, изображающую первую производную (черт. 37).

Из чертежа наглядно видно, что в тех промежутках, в ко­ торых производная положительна, функция возрастает; в тех же промежутках, в которых производная отрицательна, функ­ ция убывает. В точках,, где f'(x) =0, т. е. дифференциаль­ ная кривая пересекает ось абсцисс, функция имеет экстре­ мум: максимум при Xi — — 1 и минимум при Х2 = + 3.

проходит под прямым углом к оси ОХ. График функции и ее дифференциальная кривая ясно показывают эти выводы

(черт. 38).

§ 7. НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ КРИВОЙ

Первая производная дает возможность исследовать ско­ рость изменения функции, ее возрастание и убывание и нахо­ дить максимум и минимум функции.

Более подробное изучение хода изменения функции дости­ гается в том случае, если наряду с вычислением первой про­

изводной будет найдена также вторая производная. В этом случае, кроме выяснения скорости изменения функции, будет

Черт. 39 Черт. 40

изучено также и ускорение изменения функции при различных значениях независимой переменной. При этом предполагается,

что рассматриваемая функция является по крайней мере

дважды дифференцируемой при критических значениях неза­ висимой переменной.

Исследование ускорения изменения функции сводится

к определению характера изгиба кривой, изображающей изу­ чаемую функцию, т. е. к установлению признаков направле­ ния вогнутости рассматриваемой кривой.

О направлении вогнутости можно составить представление из следующего примера. Положим, что под дождь выставлены две чашки, одна из которых поставлена прямо, а другая опро­

кинута (черт. 39). В первой чашке будет набрана вода; что же касается второй чашки, то вода прольется мимо нее. В таком

случае говорят, что кривая, изображающая разрез первой чашки, вогнута вверх (Ч~), а кривая, изображающая разрез второй чашки, вогнута вниз (—) (выпукла вверх).

Положим, что графиком функции y = f(x)

будет кривая, изображенная на чертеже 40. На участке АВ

эта кривая вогнута вверх, на участке ВС — вогнута вниз.

Легко заметить, что если кривая вогнута вверх, то она расположена над касательной; если же кривая вогнута вниз, то она расположена под касательной. При переме­ щении точки по участку кривой, вогнутому вверх, касатель­

ная к кривой в этой точке вращается против часовой стрел­

ки, т. е. в положительно^ направлении; а при переме­ щении по участку, вогнутому вниз, касательная вращается по часовой стрелке, т. е. в отрицательном направлении.

§8. ПРИЗНАКИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВОГНУТОСТИ ВВЕРХ

ИВОГНУТОСТИ ВНИЗ

Найдем признаки для определения вогнутости вверх и вог­ нутости вниз в данной точке кривой.

Напомним сначала два положения:

1. По знаку первой производной f(x) мы делаеТл заклю­ чение о возрастании или убывании функции /(х) в некоторой

точке:

если /'(х) >0, то /(х) возрастает;

если /'(х) <0, то /(х) убывает. 2. Так как производная функции

f(x) =tgx

равна

cos2 ж ’

т. е. при любом значении угла х производная больше нуля, то, каким бы ни был угол, с увеличением угла тангенс его будет увеличиваться.

Рассмотрим теперь участок вогнутости вверх (черт. 41).

Пусть точка М будет передвигаться по кривой в направле­ нии положительных значений х, т. е. слева направо, и будет

занимать последовательно положения в точках А, В, С, D, Е. Через каждую из этих точек проведем касательную и обозна­

будет ли кривая вогнута вверх или вогнута вниз: если в не­

которой точке

№)>о,

то кривая в этой точке вогнута вверх; если же Г(х) <0,

то кривая вогнута вниз.

Черт. 42

§9. ВТОРОЙ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ МАКСИМУМА

ИМИНИМУМА ФУНКЦИЙ

Выяснив, что при вогнутости вверх вторая производная положительна, а при вогнутости вниз — вторая производная