Файл: Митропольский А.К. Лекции по дифференциальному исчислению.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
Дифференциал функции |
|
65 |
|
друг другу бесконечно малыми |
величинами |
(см. Введение, |
|
п. 7). Таким образом, |
|
|
|
Ау ~ dy |
|
(7) |
|
и, следовательно, |
|
|
|
lim dy = 1,’ |
|
|
|
т. е. предел отношения полного приращения |
функции к его |
||
главной части равен 1. |
|
|
|
На этом основании вместо сложного по своей природе |
|||
приращения Аг/ функции берут |
более простой ее дифферен |
||
циал dy: |
|
|
(8) |
ky'^dy. |
|
||
Из формулы производной сложной функции [гл. |
II, (15)] |
||
■следует |
|
|
|
dy = f'( и) <р' (х) dx; |
|
|
|
но так как |
|
|
|
ф' (х) dx = сйр (х) — du, |
|
|
|
то |
|
|
(9) |
dy — f' (и) du. |
|
||
Таким образом, дифференциал функции |
|
|
|
z/ = f(u) |
|
|
|
сохраняет одно и то же выражение независимо от |
того, яв |
||
ляется ли ее аргумент и независимой переменной или функ цией независимой переменной.
Благодаря этому формулы, содержащие одни только диф ференциалы, являются особенно удобными, так как эти фор мулы не меняются при выборе новой независимой перемен ной.
Найдем, например, производную функции, заданной пара
метрическими уравнениями |
|
х = ф(0, |
г/ = ф(О- |
Дифференциалы dx и dy будут равны |
|
dx = q>'(t)dt, |
dy = ф' (t)dt. |
Разделив dy на dx, получим
[см. гл. III, (39)].
5
66 Дифференциал [гл. IV’
§ 2. МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ
Понятие дифференциала имеет исключительно большое
значение при исследовании функций.
Выясним механический и геометрический смысл диффе
ренциала функции.
Положим, что независимая переменная х означает время,
|
а функция |
|
|
|
|
— путь, пройденный точ |
|||
|
кой, движущейся прямо |
|||
|
линейно, за |
промежуток |
||
|
времени от 0 до х. Тогда |
|||
|
производная |
f'(x) |
будет |
|
|
представлять |
скорость |
||
|
движения точки в |
момент |
||
|
х. Отсюда следует, что- с |
|||
|
механической точки зре |
|||
|
ния дифференциал функ |
|||
|
ции |
|
|
|
Черт. 25 |
|
dy = f'(x)Ax |
||
есть величина того пути, который |
прошла |
бы |
движущаяся |
|
точка за промежуток времени (х,х |
Ах), |
если бы в |
течение |
|
этого промежутка она двигалась равномерно с той скоростью,
какую она имеет в начале этого промежутка.
Для выяснения геометрического смысла дифференциала построим кривую, изображающую данную функцию (черт. 25)..
У = ?(х)-
Возьмем на кривой некоторую точку М(х;у) и другую точку All (хАх; у-\-Ау). Проведем в точке А4 касательную МТ к кривой, а также построим ординаты точек М и Mi и
прямую МР, параллельную оси ОХ, и обозначим угод накло на касательной к оси ОХ через а. Тогда
NNi =МР = Ах,
PMi = Ay,
tgPMQ = tga = f'(x).
Из прямоугольного треугольника MPQ находим
PQ^=tga- Ax = f'(x)Ax.
§ 31 |
Таблица производных и дифференциалов |
67 |
Сравнивая |
это равенство с равенством (3), приходим к |
|
заключению, |
что |
|
|
dy — PQ, |
|
причем под PQ надо понимать отрезок, меняющийся |
при |
|
Дх -> 0. |
|
|
Таким образом, дифференциал функции PQ не совпадает с ее приращением РМ[. В то время как приращение функции
\у представляет приращение ординаты кривой, диффе
ренциал функции dy в каждый момент своего изменения вы ражает приращение ординаты касательной к кривой в рассматриваемой точке, т. е. приращение, которое получила бы на промежутке от х до х-|-Дх ордината рассматриваемой
кривой, если бы наклон кривой в этом промежутке был такой же, как в точке х, т. е. если бы мы эту кривую заменили ка сательной, проведенной к ней в точке, абсцисса которой равна х. Следовательно, разность между приращением и дифференциалом функции изображается отрезком ординаты между кривой и касательной. Этот отрезок QA41 является
при Дх -> 0 бесконечно малой высшего |
порядка, чем отре |
|||
зок PQ. |
|
|
|
|
Выяснив геометрический смысл дифференциала функции, |
||||
мы можем также уяснить геометрическое |
значение замены |
|||
приращения функции ее дифференциалом (8), а |
именно: ис |
|||
следуя изменение ординаты кривой |
при |
малых |
изменениях |
|
абсциссы, мы можем дугу кривой |
приближенно' заменить |
|||
отрезком касательной к кривой. Другими |
словами, данная |
|||
функция при малых изменениях независимой переменной за меняется линейной функцией с постоянной скоростью измене ния, равной f'(x).
§ 3. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ И ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ
1.Производная постоянной
у= С, = 0, dC — 0.
а dx ’
2. Производная переменной по самой переменной
у = х, 'Цкк — 1, d (х) = dx. (IX
3. Производная произведения функции на постоянный множитель
d\cu) |
du ,, ч |
, |
y==cu,—r-L = c^—, d(cu)=cdu. |
||
CLX |
(IX |
|
68 |
Дифференциал |
[гл. IV |
4. Производная алгебраической суммы-
. |
d(u-i-v — w) |
du , dv dw |
y = u + V-™>------- |
di------- |
+ |
d(u-\-v— w) = du-\-dv— dw.
5. |
Производная произведения |
. |
dv |
|
|||
|
|
|
d (uv) |
du |
|
||
|
Ц — UV, -L3~J-=V-.-----\-U-j— , |
||||||
|
y |
’ |
dx |
dx |
1 |
dx |
’ |
|
|
d(uv) = vdu + udv. |
|
||||
6. |
Производная частного |
|
du |
|
dv |
||
|
|
|
,( и \ |
|
|
||
|
и |
|
a— |
_ |
V-j-----U |
-j— |
|
|
|
' v / |
dx |
|
dx |
||
V |
v ’ |
dx |
v- |
|
u \ |
и 1__ |
vdu — udv |
|
v ) |
v* |
7. Производная сложной функции
z/ = f[<pU)L У = К“), u = q>(x).
8. |
Производная обратной функции |
||
|
|
r/ = /(x), |
x —(p(z/), |
|
|
dy _ 1 |
|
|
|
dx |
dx ‘ |
|
|
|
dy |
9. |
Производная степенной |
функции |
|
|
|
|
d(un') = nun-ldu. |
|
y = xn |
= |
d(xn) = nxn-'dx. |
10. |
Производная логарифмической функции |
||
= ,(lnx) =^.
,= l0g.x.^ = i|0goe,
rf(logax) =~logaedx.
